Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Если (1) со (х) и $ (х) непрерывны в замкнутом интервале (а, Ь) и дифференцируемы в открытом интервале, (2) $ (Ь) ф й (а) и (3) со' (х) и ty' (х) никогда не обращаются в нуль при одном и том же значении х, то межЭу а и b существует такое X, что
<?&)-<? (а) 5Ч9 o(b) —u (а) <У (?)'
Эта теорема сводится к теореме о среднем, когда $(х)=х, причем в этом случае дополнительные условия выполняются автоматически.
Доказательство является прямым обобщением доказательства из л. 126. Функция
со (й) - со (X) - 1^1?? {Hb) - Ф (*)}
обращается в нуль при х=а и при х = Ь; следовательно, ее производная обращается в нуль при некотором значении ?, лежащем между а и Ь, т. е.
W Ф (Ь) — Ъ (a) Y К '
для такого I. Если бы <}/(?) равнялась нулю, то и ср'(?) было бы равно нулю, что противоречит нашим предпосылкам. Следовательно, <]/ (?) 0, и теорема полностью доказана, если разделить последнее равенство на <р' (?).
Условие того, что со' и <р' никогда не обращаются в нуль при одном и том же значении х, существенно. Допустим, например, что
а = —1, b = l, Cp=ZX1, ty = je3.
Тогда ср(Ь) — ер (а) = 0, $(Ь)—-<р (а) = 2, и результат может иметь место только в том случае, когда ер'(E) = 0, т. е. когда u = 0; но <{/(?) при этом значении X тоже обращается в нуль, и формула теряет смысл.
129. Теорема Дарбу. В п. 101 мы доказали, что если о (х) непрерывна в (а, Ъ), то она принимает в этом интервале все значения между <р (а) и ср (Ь). Существуют другие классы функций, которые обладают этим свойством, в частности, класс производных. Если со' (дг) является производной некоторой функции со (дг), то (независимо от того, непрерывна оиа или нет) со' (х) обладает этим свойством.
Если а (х) дифференцируема для a ^ х ^ Ь, ср' (а) = а, ср'(6) = В Uf лежит между а и В, то существует такое ? между а и Ь, что <в' (?) = Ї-
Предположим, например, что а < т <с я, и пусть
<l>(x) = 'f(x) — i(x — a).
Производные и интегралы
241
Тогда (х) непрерывна и, следовательно, достигает своей точной нижней грани в (а, Ь) в некоторой точке ?¦ из (а, Ь). Эта точка ?¦ не может совпадать ни с в, ни с Ь, так как
<!/(«) = ° — y<0, <!/(*) = ? — т>0.
Следовательно, <Ь (х) имеет минимум1) п некоторой точке S между а и 6, так что <К(?) = 0, т. е. f'(S) = T-
130. Интегрирование. Мы видели, как во многих случаях можно найти производную данной функции ср (х). Естественно поставить теперь обратный вопрос о нахождении функции, производная которой задана.
Пусть функция <]* (х) задана. Тогда мы хотим найти такую функцию ср (х), что ср' (х) = ф (х). Нетрудно видеть, что этот вопрос в действительности распадается на три части.
(1) В первую очередь мы хотим знать, существует ли вообще такая функция ср (х). Этот вопрос не следует ни в коем случае смешивать с вопросом о нахождении какой-либо простой формулы для этой функции (если она существует).
(2) Мы хотим также знать, не может ли существовать более одной такой функции, т. е. является ли решение нашей задачи единственным или нет; а если оно не единственно, то не существует ли простого соотношения между различными решениями, которое позволяет выразить все решения через одно из них.
(3) Наконец, если решение существует, то мы хотим знать как его фактически найти.
Постановка этих трех вопросов станет ясней, если мы сравним их с тремя соответствующими вопросами, возникающими при дифференцировании функций.
(1) Функция ср (х) может иметь производную для всех значений X (как, например, функция хт, где т — положительное целое число, или sin х). Она может иметь производную для всех значений х, кроме некоторых специальных значений (как, например, функции tgx или sec х). Или же она может не иметь производной ни для одного значения X (как, например, функция из примера XXXVII. 20, которая даже не непрерывна ни при одном значений х).
Эта последняя функция разрывна при каждом значении х, a tgx и sec X имеют производные во всех точках, в которых они непрерывны. Пример X показывает, что непрерывная функция может не иметь производной при частных значениях х, в данном случае при х = 0. Вопрос о том, существуют ли непрерывные функции, которые ни при одном значении х не имеют производной, или непрерывные кривые, которые ни в одной точке не имеют касательной,
1J Не обязательно минимум в строгом смысле; см., однако, предпоследний абзац в п. 123.
16 Г. Хардн
242
Г лава шестая
слишком сложен для разбора в рамках настоящей книги. Интуиция подсказывает нам отрицательный ответ на него; но, как мы уже отметили в п. 112, высший анализ показывает, что в данном случае интуиция вводит нас в заблуждение.
Во всяком случае ясно, что ответ на вопрос „имеет ли ф(д:) производную ср'(лг)?" зависит от разных обстоятельств. Мы вправе ожидать, что обратный вопрос „существует ли функция ср (д:), производная которой равна данной функции ty(x)?u допускает также разные ответы. Мы уже видели, что в некоторых случаях ответ должен быть отрицательным: так, если (д:) есть функция, равная а, Ъ или с, в зависимости от того, отрицательно ли х, равно ли оно 0 или положительно, то функции ср (л:) не существует, за исключением того случая, когда a = b = с (см. пример XLVII. 5).
