Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим функцию со (х), определенную при дгг?0 соотношением
9 (х) = X2 sin ,
і положим Ct(O) = O. Тогда о (дт) непрерывна при всех: значениях х. Если
^:0, TO
cs' (х) = 2дг sin —cos—,
огда как
X
ft2 sin -
о'(0) = Hm-r-^ = 0-
ft-.o п
1 аким образом, и' (х) существует для всех значений х. Но 9' (х) разрывна
при х = 0, так как 2xsin— стремится к 0 при дг—0, a cos"колеблется
между верхним и нижним пределами +1 и —1, так что 9' (л-) колеблется между этими же пределами.
232
Г лава шестая
По существу этот же пример может служить иллюстрацией к вопросу, затронутому в конце п. 122. Пусть
а (х) = X2 sin -j- ах,
где 0<а<1, если хфО, и со (0)=0. Тогда о'(0) = а>0. Таким образом, условия теоремы А п. 122 удовлетворены. Но если х^О, то
а' (х) = 2х sin -— cos — 4-а,
' 4 ' X X
а это выражение колеблется между пределами а — 1 и «4-1 прн х— 0. Так как а—1 < 0, то мы можем иайти значения х, как угодно близкие к нулю, для которых ср'(х)<0. Поэтому не существует никакого интервала, содержащего X = 0, в котором Cf (дг) являлась бы строго возрастающей функцией от х.
Однако ср' (х) не может иметь так называемого „простого" разрыва (гл. V, пример XXXVII.18). Если ?'(*)—• а при х — + 0, ср'(х) — Ь при х—» — 0 и ср' (0) = с, то a = A= с, и ср'(х) непрерывна при х = 0. Доказательство см. в п. 126, пример XLVII. 5.
Примеры XLVI. 1. Проверить теорему В для функций
ъ(х) = (х —а)т (х —bf и ср(х) = (х — а)т(х— bf (х
где яг, я и р — положительные целые числа и а<Ь<.с.
[Первая из этих функций обращается в нуль при X= а н х водная
ср' (х) = (х — a)m_1 (х — А)"-1 { (т + Ii)X-тЬ—па}
обращается в нуль при x — ~j1~r^> лежащем между а и А. Во втором случае мы должны проверить, что квадратное уравнение
(т +п+р)х2 — { т (b + с) + п (с + а) 4- р (а b) } х + mbc + пса -\- pab = О
имеет корни между а и b и между b и с]
2. Показать, что х — sinx является возрастающей функцией в любом интервале значений х и что tgx—х возрастает, когда х возрастает от
--2" до ~. При каких значениях а функция ах — sin х является монотонно
возрастающей или монотонно убывающей функцией от х?
3. Показать, что монотонно возрастает, когда х возрастает
от 0 до ~.
1 (Экз. 1927 г.)
4. Показать, что tgx—х возрастает при х возрастающем от -^-до-^-'> 3- S-
от у до y н т- Д-> и вывести отсюда, что уравнение tgx = x имеет по одному корню в каждом из этих интервалов (см. пример XVII. 4).
-су,
= Ь. Произ-
Производные и интегралы
233-
5. Вывести из примера 2, что sinx — х<0, если х>0, оісюда, что cos X — 1 4- y *2 > °.
а отсюда, что
sm X — X 4- -5- X3 > 0. о
Вообще, доказать, что если
C2m = cosx-l+^-...-(-irA,
S,m+1=sinx-x + ^- ... -(-I)»^2-—,
и х>0, го С2т и Ssm+1 положительны или отрицательны, в зависимости от того, будет т нечетным или четным.
6. Если /(х) и /" (х) непрерывны и имеют одинаковый знак в каждой точке интервала (а, Ь), то этот интервал может содержать не более одного корня каждого из уравнений /(х) = 0, f'(x) = 0.
7. Пусть функции и и v и их производные и1 и г/' непрерывны в некотором интервале значений х и пусть uv' — u'v не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала. Показать, что тогда между любыми двумя корнями уравнения U = O лежит корень уравнения v = 0, и наоборот. Проверить эту теорему для u==cosx, V = sinx.
[Если V не обращается в нуль между двумя корнями уравнения ц=0,
скажем а и 3, то функция ~ непрерывна в интервале (а, 3) и обращается в нуль на его концах. Следовательно, производная
/ U\' U1V— UV1
должна обратиться в нуль между а и 2, что противоречит нашим предпосылкам.]
8. Найти наибольшее и наименьшее значения х3 — 18х24-96х в интервале (0, 9).
v ' {Экз. 1931 г.)
9. Исследовать максимумы и минимумы функции (х — а)т(х— b)n, где т и п — положительные целые числа, и рассмотреть разные случаи, которые могут иметь место при четных и нечетных т и п. Начертить график функции.
10. Показать, что функция (х4-5)2(х3—10) имеет минимум при х=1, її исследовать другие экстремальные значения.
(Экз. 1936 г.)
11. Показать, что
(а-1-х](4-Зх2)
имеет один максимум и один минимум и что разность между ними равна
1'
?["+¦
Каково наименьшее значение этой разности при различных значениях а?
(Экз. 1933 г.)
п п ах+ 6
12. Показать, что ¦^rV. ^ не имеет ни максимумов, ни минимумов, каковы бы ни были значения а, Ь, с, d. Начертить график функции.
234
Г лава шестая
13. Исследовать максимумы и минимумы функции
V— Ах2 + 2Вх+С
где знаменатель имеет комплексные корни.
[Мы можем предположить, что а и А положительны. Производная обращается в нуль, если
(ах + Ь) (Bx + С) — (Ax + В)(Ьх+с) = 0. (1)
Это уравнение должно иметь действительные корни. Действительно, в противном случае производная имела бы всегда одни и тот же знак,
а
а это невозможно, так как у непрерывна для всех значении х, и у—»-д при х-* +со и при х—* — оо . Нетрудно убедиться в том, что кривая пересекает прямую у=-? в одной и только в одной точке и что она лежит
