Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
над этой прямой для больших положительных значений х и под ней для
Ь В , Ь В
больших отрицательных значении, если ~>-д > н наоборот, если
Таким образом, алгебраически больший корень уравнения (1) дает максимум, если - , и минимум в противном случае.]
14. Максимальное и минимальное значения ах2 +2Ьх + с — X (Ax2 + + 2Bx+ С) равны значениям X, для которых это выражение является точным квадратом. [Это условие того, что у = Х касается кривой.]
15. Если уравнение Ax2 + 2Bx + С = О имеет действительные корня, то удобнее всего рассуждать следующим образом. Мы имеем
a 2\x+v.
V — = -
' л
A A(Ax2+ 2Bx+С) '
д
где Х = ЬА — аВ, [а = сА — аС. Полагая, далее, Sj = 2Xx 4- [j- и T1 =-.^ (Av — а), получим уравнение вида
Минимуму у как функции от х соответствует минимум T1 как функции оті, и наоборот. То же справедливо и для максимумов. Производная от tj по ? обращается в нуль, если
(І — р) (с — 9) — |(? — р) — — 9) = о,
т. е. когда ?2 = pq. Таким образом, существуют два действительных корня производной, если р и q имеют одинаковые знаки, и не существует ни одного действительного корня, если они имеют обратные знаки. В последнем случае график і) имеет вид, изображенный на фиг. 38а.
Общий вид графика в случае р и q положительных изображен на фнг.'386, и легко видеть, что I = У pq дает максимум, a Sj= — У~/><7 — минимум.
Предыдущее исследование неприменимо в случае X = 0, т. е. = -g- • Но
в этом случае мы имеем:
у-?- = - •* - *
"A(Ax2+ 2Bx+ С) A2 (X-X1) (х — х«)'
Производные и интегралы
235
и ~ = 0 дает единственное значение л: =-s-(X1-J-X»). Пользуясь графи-
иХ ^
ком, мы видим, что это значение дает максимум или минимум, в зависимости от того, является ли [а положительным или отрицательным. График иа фиг. 39 соответствует первому из этих случаев.
16. Показать, что
а ь
Фиг. 38 Фиг. 39
принимает все действительные значения, когда х изменяется от — со до-j-ос если у лежит между а и ?, а в противном случае принимает все значения кроме тех, которые лежат в некотором интервале длины
17. Показать, что
X2 4- 2х + г
У=:
X2 4- 4х 4- Зс
принимает все действительные значения, если 0<с с I, и начертить график функции в этом случае.
18. Функция
_ ах + Ь у—(jf_l)>-4)
(Экз. 1910 г.)
имеет экстремальное значение — 1 при х = 2. Найти а и b и показать, что іто экстремальное значение является максимумом. Начертить кривую.
1Л ^ (Экз. 1930 г.)
19. Определить функцию вида
ах* + 2Ьх + с Axs 4- 2Bx 4- С '
которая имеет экстремальные значения 2 и 3, соответстаенно при х = 1 и X = —1, и принимает значение 2-5 прнх = 0.
20. Максимум и минимум функции
(X+ а) (x + ») (х — а)(х~Ь) ' її а и b положительны, равны
(Экз. 1908 г.)
(Vj+ Vj Y _ (Vj-VTY
[Va -Yb j' [Ya+Yb j •
236
Глава шестая
21. Максимум функции
(x~\f
(X+If
2
равен 27 •
22. Исследовать на ,максимумы и минимумы функции
х(х — 1) Xі (x—lf (Зх2 — 2х — 37)
х^ + Зх + З ' (х —1)(х—З)3' (х + 5)2(3х2 —14х—1) '
(Экз. 1898 г.)
P (х)
[Если последнюю из этих функций обозначить через > т0
P'Q — PQ' = 72 (х — 7) (х —3) (x — l)(x+1)(х + 2) (х + 5).]
23. Найти максимумы и минимумы функции a cos х + 6 sinx. Проверить результат, представив эту функцию в виде A cos (х— а).
24. Показать, что
sin (х+ а) sin(x+6)
не имеет ни максимумов, ни минимумов. Начертить график этой функции.
25. Показать, что функция
" (0<а'<6<-)
sin (х + а) sin (х + Ь) имеет бесконечно много минимумов, равных нулю, и максимумов, равных
sin a sin Ь ~ sin2/а — Ъ)'
(Экз. 1909 г.)
26. Наименьшим значением функции a- sec2 х + b- cosec2 х является (a + 6)2.
27. Показать, что tg3xctg2x не может лежать между -^- и tj-.
28. Показать, что максимумы и минимумы функции sinтхcosecх, где т — целое число, определяются из уравнения tgmx=mtgx, и вывести, что
sin2 тх т- sin2 х.
(Экз. 1926 г.)
Заметим, что в точке максимума или .минимума
sin2 тх . cos2 тх ., 1 + tg2 х „ 1 + tg2 х T
cos2 x 1 + tg2 mx 1 + от2 tg2.
шумы функции у, с : sin2 x + 2 cos x + 1,
29. Найти максимумы и минимумы функции у, определенной соотношением
ау+Ъ _
cy+d'
где ad^bc- (Зкз.1928 г.>
30. Показаіь, что если сумма длин гипотенузы и одного из катетов прямоугольного треугольника задана, то площадь треугольника будет наибольшей, когда угол между этими двумя сторонами равен 60°.
(Экз. 1909 г.)
31. Через фиксированную точку (а, Ь) проведена прямая, пересекающая оси OX и OY в точках PhQ. Показать, что наименьшие значения PQr
Производные и интегралы 237
OP+OQ и OP- OQ равны соответственно (а"/г + А2/г)3/a, + YFf и 4ab.
32. Касательная к эллипсу пересекает оси в точках PuQ. Показать, что наименьшее значение PQ равно сумме полуосей эллипса.
33. Переулок перпендикулярен к улице, которая имеет в ширину 18 футов. Какова ширина переулка, если шест длиной в 45 футов как раз можно пронести при повороте с улицы в переулок, держа его все время горизонтально?
