Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
и вообще
J /(п) (х) F (х) dx = =/{п~1Цх) F(X)-Z^-2Hx)F1 (х)+ ... + (—lfjf(x)F^(x)dx.
11. Интеграл J* (1 +xf хЧ dx, где р и q — рациональные числа, может
быть вычислен в следующих трех случаях: (1) когда р—целое число, (2) когда q — целое число и (3) когда p+q — целое число. [В случае (1) положим X = us, где s — знаменатель q; в случае (2) положим l + x — ts, где s — знаменатель р; в случае (3) положим l-f-x^x^, где s—-знаменатель р.]
12. Интеграл J* хт (ахп + bf dx может быть сведен к предыдущему подстановкой ax" = W*). [Практически конкретные интегралы этого типа удобнее всего вычислять с помощью так называемых ,рекуррентных формул" (см. стр. 277, пример 55).]
13. Интеграл ^ R { х, Уах+b, "|/ сх + d } dx может быть приведен к интегралу от дробно-рациональной функции подстановкой
14. Привести J* R(x, y)dx, гдеу2(х—у) = х, к интегралу от дробно-рациоиальной функции. [Положив у = tx, мы получим х= ^—,
*) Подинтегральная функция в примере 12 называется биномиальным дифференциалом. Теорема о том, что перечисленные в примере 11 случаи являются единственными, в которых интеграл от биномиального дифференциала выражается в конечном виде через элементарные функции, принадлежит П. Л. Чебышеву. (Прим. перев.)
или умножением числителя и знаменателя на Vx + а — Ух + Ь, что если а>Ь'Т0 и , , ,
Производные и интегралы 255
J
dx _ _ J_ і х* + У*
142. Интеграл J* P (х, у) dx, где у2 = ях2 -f- 2bx -\- с Наиболее общий
интеграл, связанный в смысле п. 137 с коническим сечением у2=ях24--\-2bx 4- с, имеет внд
Ja(JcVx) л*, (і)
где А^у2 = ах2 4- 2ox 4- с. Мы предполагаем, что R— вещественная функция.
р
Подинтегральная функция имеет вид, где P и Q — многочлены
относительно X и Ух. Поэтому она может быть приведена к виду
А+ВУХ _ (А + В УХ)(С-РУХ) _g , glAV "rJ+oV*- С2-Z)2AT +
где Л, В, ... —дробио-рациоиальиые функции от х. Новой является задача
интегрирования функции вида F УX или, что то же самое, ——, где Q—
дрооно-рацнональная функция от х. Интеграл
° dx (2)
J
ух
всегда может быть вычислен разложением Q на простейшие дроби. При этом мы получим три различных типа интегралов.
1°. Прежде всего могут получиться интегралы вида
Jxm yxdx- (3>
где т — положительное целое число. Случаи от = О и т= \ уже рассматривались в п. 139. Для вычисления интегралов, соответствующих большим значениям т, заметим, что
15. То же для функции, определенной уравнением
(a) у(х —у)2 = х;
(b) (х*+у°-)* = а*(х*— у2).
^B случае (а) положим лг—у = г1; в случае (Ь) положим х24-у2 = t (х — у) и найдем:
_ аЧ + д2) _ аЧ{іг— а2)]
16. Если у{x—yf = х, то J —_3у = у1п { (х-у)2-!}.
17. Если (х24-у2)2 = 2с2(х2 — у2), то
'256
Глава шестая
где о, ?, Y — постоянные, значения которых могут быть легко найдены. Ясно, что после интегрирования этого уравнения мы получим соотношение между интегралами типа (3), соответствующими следующим друг за другом значениям т. Так как нам известны такие интегралы в случаях т = 0 и т = 1, то мы сможем последовательно вычислить эти интегралы и для других значений т.
2°. Далее могут получиться интегралы вида
_ dx
где р—действительное число. Если мы сделаем подстановку х — />==-^-} то
этот интеграл приведется к интегралу по t типа (3).
3°. Наконец, могут получиться интегралы, соответствующие комплексным корням знаменателя О. Ограничимся простейшим случаем, когда все такие корни — простые. В этом случае (см. п. 133) паре комплексно сопряженных корней знаменателя Q соответствует интеграл типа
Lx + M
- г. dx. (5)
(Ax3 + 2Bx + C)V ахг + 2Ьх+с '
Для вычисления этого интеграла положим
Х~ t+\ '
где ]j. и v выбраны таким образом, чтобы выполнялись условия
a[>.v + b(\x + 4) + c = 0, Apt+ В(р+ V)+C = O,
так что ;х и V являются корнями уравнения
(a? — ЬА) Is — (сА — аС) E + (ЪС — сВ) = 0.
Это уравнение имеет действительные корни, так как оно совпадает с уравнением (1) примера XLVI. 13. Поэтому искомые ,ч и v имеют действительные значения.
Делая подстановку, мы найдем, что интеграл (5) принимает вид tdt с dt
(6)
Jtdt л_<tt__
(ев«+P)VWTi к] (at*+t)VWT*'
Второй из этих интегралов рационализируется подстановкой
t
—г —- ~ и,
Vltz + o
что дает
Jdt _ Г* du
(cd*+$y\/^t* + h ~ J ? + (<» —fr) и2 *
Наконец, если в первом из интегралов (6) мы положим ~, то он пРе"
образуется в интеграл второго типа и, следовательно, может быть вычислен только что указанным образом, а именно, подстановкой
и
—7=-= V,
Vl + о"2
Производные и инпіеграли 257
- = v 1J.
Jdx _ P dx P_ dx
хУх* + 2х + 3 * J (лг-1) ^л^рТ ' J (лг+1) У~1+2х-х*'
Примеры L. 1. Вычислить
dx P dx P dx
2. Доказать, что
dx
J{x-p)V{x-p)(x—q) Ч — р\х-р'
3. Если л^ + сЛ2 = — v<0, то
J
(hx-^g)VuX1 + с уV ch —agx
Jdx -,-г—, где у* = ахг + 2bx + с, может быть (X Xa) у
представлен в одном из следующих двух видов: ахх0+ b(x+ X0) +с + уул
