Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
134. Замечание о технике интегрирования дробно-рациональных функций. Рассмотрения п. 133 дают нам общий метод, с помощью которого мы можем найти интеграл от любой действительной дробно-рациональной функции R(х), если мы можем решить уравнение Q(X) = O. В простых случаях (как в предыдущем примере 5) применение этого метода весьма быстро приводит к результату. В более сложных случаях вычислительная, работа, связанная с применением этого метода, может оказаться настолько большой, что практически результат таким путем не может быть получен. Тогда следует применять другие приемы. В задачу настоящей книги не входит подробное рассмотрение техники интегрирования, и поэтому читатель,, интересующийся этим вопросом, должен обратиться к другим руководствам, например, к курсу Э. Гурса (Курс математического анализа, т. I, гл. V,. ГТТИ, M. —Л., 1933).
Если уравнение Q(X) = O не может быть эффективно решено, то метод разложения на простейшие дроби вовсе неприменим, и следует обратиться к другим методам').
135. Алгебраические функции. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании алгебраических функций. Мы должны рассмотреть задачу интегрирования у, где у является алгебраической функцией от х. Однако удобнее рассматривать интеграл
где R (х, у) — любая дробно-рациональная функция от х и у. Этот интеграл в действительности не является более общим, так как R (х, у) сама является алгебраической функцией от х. Эта форма интеграла оказывается более удобной; например, функцию
R (х, у) dx,
px + q + Vax2 + 2bx + c
px + q — Vax2 + 2bx + c
1J См. книгу автора „Интегрирование элементарных функций", ОНТИ, 1935. В практике интегрирования это случается довольно редко.
Производные и интегралы
удобнее рассматривать как дробно-рациональную функцию от х и от простой алгебраической функции _у = |/ал:2-(- 1Ьх-\-с, чем непосредственно как алгебраическую функцию от х.
136. Интегрирование подстановкой и рационализацией. Из
уравнения (3) п. 133 следует, что если
J ф (л:) dx = ср (х),
то
|ф{/(0}/'(0^=ф{/(0}- а>
Это уравнение дает нам метод нахождения интеграла от ф (л:) в большинстве тех случаев, когда значение интеграла не может быть сразу найдено. Оно может быть сформулировано в виде следующего правила: положим x=f(t), где f(f) — любая функция, выбор которой представляется целесообразным; умножим на f (t) и определим (если это возможно) интеграл от ty{f(f)}f'(t); затем выразим результат через х. Часто оказывается, что функция от t, к которой мы приходим в результате применения этого правила, принадлежит к числу тех, интегралы от которых могут быть легко вычислены. Это, например, всегда имеет место в тех случаях, когда она является дробно-рациональной функцией; с другой стороны, часто оказывается возможным выбрать зависимость между х и t так, что мы как раз приходим к такой функции. Если, например, нужно найти интеграл от R{\fх), где R — дробно-рациональная функция, то с помощью подстановки X = P мы приходим к интегралу от 2tR(t), т. е. к интегралу от дробно-рациональной функции от t. Этот метод интегрирования назовем интегрированием рационализацией.
Его применение к рассматриваемой задаче очевидно. Если мы можем найти такую переменную t, что х и у оба являются дробно-рациональными функциями от t, скажем х = R1 (t), у = z=Rz(f), то
J R(x, y)dx=§ R[R1 (t), Rz (t)} R1' (t) dt,
а этот последний интеграл является интегралом от дробно-рациональной функции от t и может быть вычислен методами, изложенными в п. 133.
Важно знать, в каких случаях мы можем найти вспомогательную переменную t, которая удовлетворяла бы этим условиям, но мы не можем рассматривать здесь этот общий вопрос 1). Мы должны ограничиться несколькими простыми частными случаями.
') См. книгу автора, цитированную на стр. 248.
250
Глава шестая
137. Интегралы, связанные с коническими сечениями. Предположим, что х а у связаны уравнением вида
ах* -f 2hxy + by* + Igx -f 2fy -f с = 0,
другими словами, что график _у, рассматриваемого как функция от х, является коническим сечением. Пусть (S1 Tf)) — любая точка на этом коническом сечении и X — Ь = Х, у — t]=Y. Если выразить соотношение между X тлу в переменных X и Y, то оно примет следующий вид:
aXl -f IhXY-f ЙГ2 -f 2GX + 2/7F = 0,
где F = AJj-j-й-»]G =: а\ -j- Ay) -(- g-. Положим в этом уравнении Y==tX. Тогда мы найдем, что X и F, а следовательно, ахну, являются дробно-рациональными функциями от г. Действительно, мы находим, что
. 2 (G+ Ft) _ _ _ 2t(G+Ft)
Х a + 2ht + bt2 ' У ^ a + 2М + Ы2 '
Таким образом, процесс рационализации, описанный в предыдущем пункте, может быть проведен.
Читателю предлагается проверить, что
hx-\-by+f=-~(a + 2ht-j-bf)^,
так что
f dx _ g f #
J hx + by+f J a + 2«-fW2 '
Если А2^>а#, то вычисления удобнее всего продолжать следующим образом. Коническое сечение является гиперболой с асимптотами, параллельными прямым
ax* + 2hxy + by* = Q,
или
b (у — ^x) (у — р'х) = 0. Если мы положим у — р.х = г, то найдем:
