Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
« „'r— 2gx + 2/j> + g
и ясно, что хну могут быть получены отсюда как дробно-рациональные функции от t. Проиллюстрируем этот процесс на одном важном частном случае.
Jdx --. Допустим, в частности, что v* = Vax2 + 2Ьх + с
= ах2 + 2Ъх 4- с, где а>0. Полагая у + х |/а = t, найдем:
2dx =(t2+c) Va + 2bt 2 =(t* + c) Va + 2bt
dt~ (tV'a+b)2 ' У~~ tVa+b
Производные и интегралы 251
г** г_л і 1п
X У а +у ¦
• (!)
Если, в частности, « = 1, Ь = 0, с = а2 или а = 1, b = 0, с = — а2, то мы получим:
Г =1п/ а:+ У~х*+~а2 \
d* = In і JC +
Vx
Справедливость этих уравнений может быть непосредственно проверена дифференцированием. К этим двум формулам следует присоединить еще третью:
dx . X .„.
^ = arc sin-, (3)
J
У а2
которая соответствует случаю а<0. В формуле (3) предполагается, что
X
а>0; если а<0, то интеграл равен arc sin-p^j- (см. п. 120). На практике
рассматриваемый интеграл следует вычислять сведением его (как это сделано в следующем пункте) к одному из этих стандартных видов.
Формула (3) представляется совершенно отличной от формул (2), но в гл. X читатель узнает о связи, существующей между ними.
139. Интеграл Г ~Ь f1__dx. Этот интеграл может быть
J У ах*+2Ьх + с
во всех случаях вычислен при помощи результатов предыдущего пункта. Наиболее удобным методом вычисления является следующий. Так как
мы имеем:
J
—= axJrb dx = V ахг + 2bx-\-c, У ахг-\-2Ъх-\-с ' '
Уах* + 2Ьх + с я ' ' 1
dx
ах* + 2Ьх + с
В этом последнем интеграле а может быть положительным или отрицательным. Если а положительно, то положим
Ь
х va+~y^ = t'
тогда мы получим:
dt
и, следовательно,
252 Глава шестая
ложим
X YА--^=t;
Ya
тогда мы получим:
1 р dt_
Таким образом мы видим, что вычисление этого интеграла сводится к вычислению интеграла, рассмотренного в п. 138, и что этот интеграл сводится к одному из следующих трех:
Jdt г* dt р dt
Y^ + a* ' J Y^—"a* ' J Уо2^2 '
140. Интеграл J* (X х + [i) Yax% + 26х -f- с dx. Подобным образом находим, что
J (Xx + [J.) У ох2 + 26х + с dx =
= ^ (ах2 + 26х + cf* + _ J У ах2+ 2Ox+"с dx, а этот последний интеграл сводится к одному из следующих трех: J У/2 + а2 df, J Уг2 —a2 d*, J у^^72 df.
Для вычисления этих интегралов здесь уместно ввести еще одну общую теорему интегрального исчисления.
141. Интегрирование по частям. Теорема об интегрировании по частям является лишь другой формулировкой правила дифференцирования произведения, доказанного в п. 114. Из теоремы (3) п. 114 сразу следует, что
jf'(x)F (х) dx =f(x)F (х) — J /(xj F' (х) dx.
Может случиться, что функция, интеграл от которой ищется, пред-ставима в виде / (x)F(x) и что f(x)F'(x) может быть проинтегрирована. Предположим, например, что ф (х) =х Ф (х), где Ф (х) является второй производной от известной функции X (х). Тогда
J ф (х) dx = J XV." (х) dx = XX' (х) — J (X) dx = хх' (х) — X(х).
Мы можем проиллюстрировать применение этого метода интегрирования на примере интеграла, рассмотренного в предыдущем пункте. Положим
/(х) = ах+ 6, F (х) = Уах2 + 2bx + с =у.
ас — Ь* ~ .
где X =-. Если а отрицательно, то заменим — а на л и по-
Производные и интегралы 253
Jdx_ax + b C xdx_
4. Вычислить J* ^1--— ч <t—=, где 6>a, тремя путями, а именно:
dx
Y(x — a) (b — x) 1° методами предыдущих параграфов, 2° подстановкой
X— а
и 3° подстановкой х = о cos2 9 + b sin2 9, и показать, что результаты совпадают.
X3
5. Проинтегрировать . а 3 с помощью подстановок (X + 1)
(а) X = tg 9, (6) и = X2 + 1, тов.
X2+l X _1
и проверить совпадение результатов. (Экз. 1934 г.)
6. Проинтегрировать
-х(1+х6)' (а + х)Ус + х' хУ4х2 + 1 ' Ух2 + х + 1 ' х°Ух2 + а2
(Экз. 1923, 1925, 1927, 1929 гг.;
7. Показать с помощью подстановки
2x+a + o = l(a-o)(i2 + i
Тогда
a j*y dx = (ax + 6)y — j* (алг + ^ - ад; = (ax + 6)jy — a Jjydx+ + (ас-*2) J^,
так что
но мы уже видели, как вычисляется этот последний интеграл (см. п. 138). Примеры XLIX. 1. Доказать, что если сс>0, то
J У Xа + а2 ах = у X Ух2+"^2 + у а2 ln { X + l/"*2 + а2 }, J УX2— а2ах=:у X Y х2 —а2 — —a2 In j х + Ух2 — о? |, J Уа2 — х* Ox = у хУа2— X2 + і a2 arc sin — .
2. Вычислить интегралы J ¦^--t ^ ' j" — x* dx c П0М0ІЦ-ЬЮ под"
становки X = a sin 9 и показать, что результаты совпадают с полученными в п. 138 и в примере 1.
3. Доказать с помощью подстановок ax + o = y и х = — , что (в 0^0" значениях пп. 133 и 141)
dx_ax + b С xdx_ bx + с
254 Глава шестая
J
Ух+а + Ух + Ь 2
3f3
8. Найти подстановку, которая приводит
dx
J (x + af* + (x — af^ к интегралу от дробно-рациональной функции.
(Экз. 1899 г.)
9. Показать, что J* R { х, у ax+b } dx приводится подстановкой
ax + b = tn к интегралу от дробно-рациональной функции.
10. Доказать, что
J /" (х) F (X) dx = Г (X) F(X) —f (х) F' (х) + J / (jc) F' (х) dx,
