Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Jp(z)=- 2 - f(z* — w*f~*coswdw, (27)
или
P--
Это равенство можно записать в следующем виде:
«*Ч (уто = -^Ц-.
(29)
du
*) См. В. И. Смирнов, Курс, т. III, ч. 2, 1951, гл. 6, § 2.
1] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 157
du 2
p+q+i
= 2*+«+1V™ 2 (30)
Записывая это равенство в интегральной форме, мы находим:
2*^11—Wl(V^) = / v^jp{Vv)^^dv. (31)
о
Подстановка а = х2, tf = je2sin6 приводит формулу (31) к виду
те
?
JP+q+i 00 = г(Д+11)2, / Jp (х sin 6) sin^1 0 cos2*-! 6 dt. (32)
Этот интеграл называется интегралом Сонина, так как Н. Я. Сонин доказал формулу (32) для целых р и q, р ^ 0,
д>о.
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Фундаментальные решения эллиптических уравнений. Пусть дан линейный дифференциальный оператор
5^-) порядка 2т с постоянными коэффициен
тами. Обозначим через L0 его главную часть, т. е. часть, содержащую только производные порядка 2т. Оператор L называется эллиптическим, если при замене в LQ каждого
д д
из дифференциалов -ч—, .... '-s— числами щ, и>„ мы
получаем многочлен L0(<d,, . . ., шп), не обращающийся в нуль при о) = (ш1в .... idJ^O.
Возьмем от обеих частей этого равенства производную порядка —q—1; мы получим:
158 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУЛКЦИЙ [1
^nГ
2rx X С
Т^Т^Г*-^ п , 1Ч J I "Л-г-•« •+«»«*» Iх (3)
(—) г (Ц^) *
Если найти решение v уравнения
Чзг- •••• ъг)* = {°lXl+n-\' +ФпХп]Х> <4>
• V 1 а.-—г(Ц1)
зависящее только от S — ч)^-)- ... -\-и>пхп, то решение уравнения (2) запишется в виде
и(хг, хп)~ Jv(uvvi-i- ... -+-<onxn)dQ.
Мы должны решить уравнение
1{д~х~1' o4l~)a(>Xl*n) = 8(*i.....*«)¦ (1)
Применим для этого следующий метод.
1°. Мы заменяем 8-функцию в правой части рассматри-
2гх
ваемого уравнения функцией -тг—р—- , которая равна
дельта-функции при Х==— п (§ 3, п. 9, (9)).
2гх
2°. Функцию --гт—;—г- разлагаем на плоские волны,
т. е. представляем ее, согласно формуле (4) п. 10 § 3, как среднее по всем направлениям (0 = ^, .... шп) от функций вида CJu)^!-)- ... -f-и>плг„ |х и решаем уравнение для
правой части вида [ш^-г- ... -\-wnxn\x, что уже элементарно.
Итак, заменяем уравнение (1) уравнением
/ ( д JL\ —- 2/Д
Lid^ **JU-QnT(^JLy (2)
из которого уравнение (1) получается при 1 = — п.
Представим теперь правую часть по формуле (4) п. 10 § 3 в виде
1] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 159
Тогда
СО
««0=. =-^гг1- Г О (5-4. ">)h|X^ (б)
" C4V-
й (jfi, . . ., хи) — Jt>m(tOiJCx-4- ... -f-u>„.*n, X)rf2. (7)
2
Чтобы получить искомое фундаментальное решение, нужно положить в последних формулах Х = — п.
Особенно простой результат получится в случае нечетного числа измерений. В этом случае
' =cs(n-1)(il)
Х-—п
и, значит,
Решение уравнения (4) сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения. Так как для функции W (5) = «((»!*!•+- ••• -т-«>я-*я)
д d
то, подставляя функцию v(Z) в уравнение (4), мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение порядка 2т:
Правая часть этого уравнения, помимо S, зависит от X, а коэффициенты слева зависят от щ, .... <яп. Следовательно, решение v зависит от ?, X и ш. Поэтому мы будем писать:
г> = г>ю(5, X).
Пусть G(S, со) есть фундаментальное решение уравнения (5), т. е. решение уравнения
160 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
Таким образом, в случае нечетного числа измерений фундаментальное решение эллиптического уравнения (1) может быть представлено в виде
« (*i.....xn) = Ci f О (5, о)) dQ. (9)
Здесь Е = со^-}- ... -\-и>пхп, a G (?, ш) есть фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения
с левой частью L^Sy-^.....шга-^-^. Можно проверить, что
п-
«-1
Qn (2к) 2 ¦ 1 • 3 ... (п —- 2)
Строго говоря, существование свертки в формуле (6) и возможность интегрирования в формуле (7) нуждаются в обосновании. Прямой путь для этого — получение формул для о (5, ш) в явном виде. Вместо этого мы здесь, обходя вопрос о существовании свертки (6), приведем другой способ получения функции «ш Г? ичх^ ,
не оставляющий сомнений в возможности ее интегрирования по единичной сфере.
Заметим, что если обобщенная функция v (?) непрерывно зависит от некоторых параметров, то ее производная любого порядка по 5 также непрерывно зависит от этих параметров (см. § 2). Далее, если обобщенная функция v (?) является решением уравнения Ц v (S) = /(?) (Ьь — дифференциальный оператор с постоянными
коэффициентами), то производная w (?) = —J^- является решением
уравнения ?5 w (S) = 0™етим еще, что если обобщенные
функции vx (?) и fx (?) непрерывно зависят от параметра X и при X Ф Х0 (в окрестности точки Х0) v\(?) является решением уравнения Itux (?) =/Л (?), то vx (?) будет решением уравнения
А«х„(е) = Л,(9.
