Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) По существу, используется лишь наличие фундаментальной системы решений, которое имеет место и для переменных коэффициентов— лишь бы только коэффициент оц не обращался в нуль.
дифференциального уравнения (2) функционал Е(х), удовлетворяющий уравнению
P(D)E=b
(функционал Е определен с точностью до решения однородного уравнения). Когда фундаментальное решение Е известно, решение уравнения (2) может быть записано в форме свертки
U = [А Е,
если, например, \х — финитная обобщенная функция. Действительно,
Р (?>) и = fj. * Р (D) Е = f * § = jj..
Так, для оператора Лапласа в трехмерном пространстве фундаментальным решением служит регулярный функционал Е = — 4~г- В «-мерном пространстве фундаментальным решением для оператора Лапласа при п > 2 служит регулярный функционал — („_2)yra 7"^"' где поверх-
ность единичной сферы, а при п — 2 — регулярный функ-ционал —;г— In —.
В качестве примера покажем еще, как строится фундаментальное решение обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами *):
а^п) -4- ахёп~4 4- ... -j- апЕ = 8 (х). (3)
Пусть их (х).....ап (х) — фундаментальная система решений
однородного уравнения
а0 и{п) (х) + ах и(п~Х)(х) + . . . + ап а (х) = 0. (4)
Положим
| А(х)=ах ах(х)-\~. . .-\-а.п ип(х) при х < 0.
(?(х) = р\И1(х)-4-.. .-r-P„Bft(Jf) при х > 0 и подберем постоянные ^ и (3^ так, чтобы удовлетворялось уравнение (3). Поскольку дельта-функция является произ-
3]
§ 5. СВЕРТКА ОЁОБЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ
141
водной функции 8 (х), равной 1 при х > 0 и 0 при х < О, достаточно потребовать, чтобы в точке х = 0 выполнялись условия:
А (0) = В (0), А' (0) = В' (0)____, Л{п~2) (0) = В(и_2) (0),)
а,[л(п-1>(0)-в<"-1)(0)] = 1. J (5)
Полагая оц — fa = (/ = 1, . . ., п), получаем для чисел т* систему уравнений
Ъщ (0)+...Тя ип (0) = о.
Тг<(0)+...+Т„<(0) = 0.
Tl <-*>(0) -f-... 4- Тяв&-«)(0) = о, ь „(»-!) (0) 4-... 4- Тп в(«-1) (о) = 1 •
(б)
а0
Эта система всегда разрешима, так как ее определитель есть вронскиан фундаментальной системы решений at(x),... . . ., а„ (х) и, следовательно, нигде не равен нулю.
Таким образом, фундаментальное решение строится с большим произволом: однозначно определяются только разности Этот произвол объясняется очень просто:
фундаментальное решение определено с точностью до прибавления любого решения однородного уравнения (4). Он используется для построения функций Грина—фундаментальных решений, удовлетворяющих тем или иным граничным условиям"*).
Пример. Рассмотрим уравнение
Е"=Ь(х). (7)
В этом случае можно взять «t=l, и2 = х, следовательно,
А (х) = ах 4- агх, В (х) = fa-{-fax. Для = a.i — fa получаем значения
Ti = °- Та = 1-
Таким образом,
E==fa -\-fax-}-x+. Это, разумеется, можно было сразу увидеть из уравнения (7).
*) См., например, М. А. Н а й м а р к, Линейные дифференциальные операторы, Гостехиздат, 1954.
142 гл. t. простейшие свойства обобщённых функций (4
В § 6, а также в § 2 гл. III мы построим фундаментальные решения для широкого класса уравнений в частных производных.
4. Интеграл Пуассона и фундаментальное решение задачи Коши. Классическая формула Пуассона в теории теплопроводности имеет вид
ОО (a._Q,
а(х, t) = jy^ J е " (1)
—со
где а (5), скажем,—финитная интегрируемая функция. Известно *), что а (х, О обладает производной по t и двумя производными по х и удовлетворяет уравнению теплопроводности
да _ д*и
dt ~ dx* KZ)
с начальным условием
и(х, 0) = i*(x). (3)
Функция и (х, t) выражает температуру точки х бесконечного стержня в момент t, если известна начальная температура \i (х) при / = 0. Формулу (1) можно записать в виде свертки
1 -х-
а(х, ?)=*р.(х)*^±=е и • (4)
Здесь в качестве [а можно взять уже любую финитную обобщенную функцию. При этом в общем случае функция и (х, t), определенная формулой (4), есть, конечно, обобщенная функция (зависящая от параметра t). Докажем, что эта обобщенная функция снова удовлетворяет уравнению теплопроводности (2) с начальным условием (3).
Прежде всего заметим, что при t > 0 дифференцирование функции
*) В. И. Смирнов, Курс, т. II, 1957, п. 204, стр. 606.
41
§ 5. СВЁРТКА ОБОБЩЁННЫХ' ФУНКЦИЙ
143
рассматриваемой как обобщенная функция, по х и по параметру t равносильно ее обычному дифференцированию по х и г. В силу следствия из леммы о непрерывности свертки (п. 2)
~'\l(x)*v(x, t)) = p(x)*-^-v(x, t)
и в силу формулы дифференцирования свертки (п. 2)
Таким образом, Но
\dt дх\)чУы
так что p-x-v действительно является решением уравнения теплопроводности.
1
С другой стороны, поскольку е 44 при t—>0
имеет пределом в смысле обобщенных функций дельта-функцию S (л;) (см. § 2, п. 5, пример 2), мы имеем при t—»-О, согласно лемме о непрерывности свертки (п. 2),
и(х, Л =а*—fr=r е " —»¦ и. * 8 = и.,
что и утверждалось. Пусть теперь
— любое дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Поставим задачу Коши: найти решение этого уравнения (обобщенную функцию, зависящую от t как от параметра), обращающееся при ( = 0 в заданную обобщенную функцию и0(х). ,
