Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 40

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 125 >> Следующая


Действительно, рассмотрим точку (х0, у0), у которой одна из координат — для определенности х0 — не принадлежит соответствующему носителю. Это означает, что функционал / обращается в нуль на всякой основной функции ср(х), обращающейся в нуль вне некоторой фиксированной окрестности U точки х0. Рассмотрим произвольную основную функцию ср(х, у), отличную от нуля только при x?U, и покажем, что (/ X g, <р (х, у)) = 0. Согласно определению,

(fXg, ср (х, y)) = (f (у), (g(x), ср О, у) )) = (/ (j,), 0) = 0;

следовательно, функционал /Xg обращается в нуль в окрестности точки (дг0, у0).

С другой стороны, если х0 и у0 принадлежат к множествам F и О, то для любой окрестности точки (х0, у0), очевидно, можно указать функцию, вида <р (х)Ф (_у)> обращающуюся в нуль вне этой окрестности, на которой

134 ГЛ. I. простейшие свойства обобщенных функций [2

*) Множество таких функций действительно плотно в пространстве /С Если, например, основная функция <? (х, у) обращается в нуль вне квадрата Q = { | л: [<! я, | у | а}, то для заданного е = 1/^, пользуясь теоремой Вейерштрасса, мы построим многочлен Рч (х, у), который в квадрате Q' = { | х |< 2а, \ у |<! 2а} отличается от <р (х, у) меньше чем на s вместе с производными до порядка v. Пусть, далее, Ъ (х) — фиксированная основная функция, равная 1 при |дг|<;а и равная 0 при \х\~^2а. Тогда при s->0 функции А, (х, у), b (х) b (у) стремятся к функции «р (х, у) в пространстве К.-

функционал / X g имеет ненулевое значение. Тем самым справедливость нашего утверждения установлена.

Коммутативность и ассоциативность. Имеют место формулы

f(x)X g(y) = g(y)Xf(x), f(x) X {g(y) X h(z)} = {/(*) X g(y)} X n (z).

Для доказательства заметим, что поскольку в обеих частях *

равенств стоят непрерывные функционалы, достаточно проверить эти равенства на плотном множестве основных функций. Для проверки первого равенства мы возьмем плотное

множество функций вида 2 9j(;x)%(y)' где ?з(х)> $j(y)

7 = 1

(У=1, 2, .... v; v=l, 2, ...) — основные функции соответствующих переменных *). Мы будем иметь тогда ;

(/ (*) X g(У), 2 Ь(х)Ь ОО) — = 2 (/ (*) X g(y). Ъ (*) Ь (У)) = 2 (/ (х). ъ (х)) (g(y), % (у))

и аналогично *

(g(y)xf(x). 2<Pi(*)TvCy))=2te(.y). fy(y))(f(x), ъ(х»,

что и требуется.

Для проверки второго равенства аналогичная выкладка

проводится с основными функциями вида 2 fj (х) $з (У) Xj О2-)-

i

2. Свертка обобщенных функций. Если f(x) и g(x) — две абсолютно интегрируемые функции на прямой и h(x) = — f(x)*g(x) — их свертка, то выражение функционала,

2] § 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 135

определяемого функцией (также абсолютно интегрируемой) h(x), мы можем преобразовать следующим образом:

(h(x), cp(x)) = J h(x)f(x)dx =

= ///(5)«-(Tl)?(5-T-TDdUTi.

Иными словами, искомый результат есть результат применения функционала f(x)g(y), который можно считать прямым произведением функций f (х) и g(y), к функции <?(х-\-у).

Естественно общее определение свертки любых обобщенных функций fag задать формулой

(/**. ?) = (/(*) XtfOO. 9(х+У)). (1)

Но здесь следует иметь в виду, что ср (лг —j— _у) — уже не финитная функция в пространстве переменных х, у и поэтому формула (1), вообще говоря, не имеет смысла.

Однако в довольно общих предположениях, которые мы сейчас укажем, формула (1) все же имеет смысл.

Как мы видели в предыдущем пункте, носитель прямого произведения функционалов f(x) и g(y) есть прямое произведение носителей этих, функционалов. Равенство (1) будет иметь смысл, если полоса \х -\-у\^.а, в которой заключен носитель функции <?(х-\-у), имеет лишь ограниченное пересечение с носителем прямого произведения / X g- В этом случае функцию <р(х~\~У) можно заменить 'в полосе | х -\-у | <; а финитной функцией <р(х,_у), не изменяя ее значений в точках пересечения полосы с носителем функционала /Х^П но тогда уже определено значение

(/Xg. у))

и, как легко проверить, оно не зависит от выбора значений функции ср(лг, у) вне указанного пересечения.

В частности, равенство (1) имеет смысл в следующих случаях:

а) один из функционалов /, g имеет ограниченный носитель;

б) носители обоих функционалов /, g ограничены с одной и той же стороны (например, /=0 при х <С a, g = 0 при у<Ь).

136 ГЛ. I, ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2

Рассмотрим сначала случай а). Пусть, например, /(х)—финитный функционал, т. е. имеющий ограниченный носитель, a g(y)—произвольный функционал. Тогда

(f*g. 9)s=(fWXg(y), <р(*-Ну)) =

= (g(y), (/(х). <P(*-KV))). (2)

Функция (/ (х). ср (х -4-у)) бесконечно дифференцируема и обращается при достаточно больших J у\ в нуль, так как при больших \у\ носители функции ср (х -\-у) и функционала /(хД, не пересекаются. Поэтому функция (/(х), ср (х-\-у))— основная по у и применение к ней функционала g(y) имеет смысл.

Если, наоборот, g(y) — финитный функционал, а /(х) — произвольный, то функция (/ (х), ср (х -\-у)) бесконечно дифференцируема, но, вообще говоря, не финитна; но так как функционал g(y) финитный, то возможная нефинитность (/(х), <?(х-\-у)) не играет роли и результат (2) по-прежнему имеет смысл.
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed