Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь случай б): предположим, что носители функционалов /(х) и g(y) ограничены, скажем, слева. Рассмотрим функцию (/(х), <?(х-\-у)). Как и ранее, это бесконечно дифференцируемая функция от у. При достаточно больших положительных у носитель функции <?(х-\~у) не пересекается с носителем функционала /(х); поэтому при таких у функция (/(х), <?(х-\-у)) обращается в нуль. Таким образом, функция (/(х), f(x-\-y)) имеет носитель, ограниченный справа. Так как носитель функционала g(y) по условию ограничен слева, то пересечение носителей ограничено и правая часть формулы (2) имеет смысл.
Таким образом, в указанных случаях а), б) свертка функционалов /, g имеет смысл. В частности, всегда определена свертка о-х-/, где D — любой дифферен-
циальный оператор; это вытекает из того, что функционалы S, Db сосредоточены в одной точке.
Найдем свертку 3-х-/. Согласно определению (о */. ?) = (3 (х) X / (У), <р (х -Ку) ) =
= (/О0.(8<*). <г(*-Ку))) = </О0. ?О0) = (/. ?)•
Таким образом, для любого функционала /
§*/ = /. ' (3)
Аналогично
Db*f = Df. (4)
2] § 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 137
В силу общих свойств прямого произведения функционалов свертка функционалов коммутативна, по крайней мере, в случаях а) и б):
f*g = g*f-
Аналогично можно написать равенство, выражающее свойство ассоциативности:
предположив, что носители двух из трех функционалов /, g, h ограничены с обеих сторон или что носители всех трех функционалов ограничены с одной и той же стороны.
Выведем следующую формулу дифференцирования свертки:
D'f*g) = Df*g = f*Dg. (5)
В дальнейшем эта формула будет часто применяться. Имеем:
(D(f*g), <р) = D*cp),
где, например, D* = (—l)4 D, если D — однородный дифференциальный оператор порядка v. Далее согласно определению свертки,
(f*g. D*?)=(g(y), (/(*), D*?(x+y))) =
= (g(y). (Df(x), <?(x-\-y))) = (Df*g, cp),
откуда D (/-x- g) — Df g. Далее, поскольку свертка коммутативна,
D (/* g)~ D (g*f) = Dg*f=f* Dg,
и тем самым формула (5) установлена.
Установим полезную лемму о непрерывности свертки.
Лемма. Из /„—»¦/ следует /v ?"—>/-*-?Г пРи каждом из следующих предположений:
а) все функционалы /„ сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве;
б) функционал g сосредоточен на ограниченном множестве;
в) носители функционалов /„ и g ограничены с одной и той же стороны и притом не зависящей от v константой.
138 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Доказательство. По определению свертки, для любой основной функции ср
(f.*g. ?) = (/, Су), (gix). <p(jc+j,))). (б)
В случае а) функцию (g(x), <?(х-\-у)) можно заменить основной функцией ф(_у), равной нулю вне области, в которой сосредоточены все функционалы /„ (у); поэтому
(Л**. ?) = (ЛО0. ФСу))-^/. V = (S*g. <р).
т. е.
f,*g-+f*g.
что и утверждалось.
В случае б) ф (у) = (g (х), cp(x-f-^)) есть основная функция; отсюда, так же как и выше, получаем требуемое.
В случае в), если для определенности предположить, что носители функционалов /„ и g ограничены слева, то функция ф (у) — (g(x), ср (х -\-у)) имеет ограниченный справа носитель; ее можно заменить основной функцией, обращающейся в нуль вне области, в которой сосредоточены все функционалы /„ (у); отсюда, как и выше, получаем требуемое. Лемма доказана.
Следствие. Если функционал f — ft зависит от
параметра t и существует производная -^ft *)> т0 формула
справедлива в каждом из следующих предположений:
а) функционалы ft сосредоточены на одном и том же ограниченном множестве;
б) функционал g сосредоточен на ограниченном мно-. жестве;
в) носители функционалов ft и g ограничены с одной и той же стороны и притом не зависящей от t константой.
'*) Подробнее о дифференцировании по параметру мы будем говорить в добавлении 2.
3] § 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 139
Доказательство легко приводится к доказательству леммы,
oh
если учесть, что производная есть предел отношения
ft+ м /* At
при kt —»• 0.
3. Ньютоновский потенциал и фундаментальные решения дифференциальных уравнений. Классическая формула ньютоновского потенциала для распределения массы с кусочно гладкой финитной плотностью [а (хи х2, х3) имеет вид
и(хи х2, х3) —
4* J J J У x& + (6, _ xtf + (ga — хъу
Известно, что a(xu x2, x3)—функция, обладающая производными до 2-го порядка и удовлетворяющая уравнению Пуассона
Аи (хи х2, Хз) = fi (хъ х2, х3). Формулу (1) можно записать в виде свертки
Здесь р. может быть уже любой финитной обобщенной функцией. При этом в общем случае и есть обобщенная функция. Оказывается, что формула Пуассона имеет место и в общем случае; действительно, вспоминая формулу
-Д-1- =— 4тс8 (§ 2, п. 3), мы можем написать: Пусть теперь
P(D)u = p (2)
— любое линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и произвольной обобщенной функцией jx в правой части. Назовем фундаментальным решением
140 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (3
