Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
( О (г2т~п), если п нечетно или
а (.*!.....хп) — \ если п четно и 2т < п.
[ q (Г2т-п 1п гу если п четно и 2т п.
где г = У^х^; ПРИ этом в случае 2т > я функция u(xlt хп) имеет в начале координат непрерывные про-
изводные до порядка 2т—п — 1.
Пример. Пуаъ Ц-^- t .. .t ~-\ = (~-\- . . . + рЛ \dxi дхп) \дх> дхп)
есть т-я итерация оператора Лапласа. Многочлен
/-о(ш1» • • •» шп) — (2 ш0 на единичной сфере Q обращается в единицу. Интегралы (8), (10) и (11) можно вычислить теперь по формуле (3) и при 2т < п, а также при п нечетном и 2т ^> п мы получаем с точностью до коэффициента пропорциональности
а(х)=Стпг2™-".
21
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 165
Если 1т~^.п и п четно, то, переходя в интеграле (12) к сферическим координатам, мы получаем:
и(х)=С r2m~n In г -4- С" г2т~п.
Последнее слагаемое можно отбросить, так как оно является решением однородного уравнения Дте« = 0.
2. Фундаментальные решения однородных регулярных уравнений. Рассмотрим уравнение
L(dZ%' bZ%..... bl^)a(XlxJ = °(xi> •••• *n). (1)
где L — такой дифференциальный оператор, что если мы заменим в нем А на u)j, то получим однородный полином степени
т *). Мы предположим, что конус Ь(<ах.....и>ет) = 0 не имеет
особых точек (кроме начала координат), т. е. что при
L{ix>x.....u)n) = 0 и 2 °V Ф 0 градиент /.(oh.....шет) не
обращается в нуль. В этом случае уравнение L^-^ju = b(x)
и сам оператор L^^-^ будем называть регулярными.
В п. 1 мы рассмотрели эллиптический случай, когда т
четно и, что самое главное, L(<ut.....ш„) Ф 0 при
2 °>/ Ф 0- В общем случае тем же путем можно формально прийти к выражению
/-/OTtt(2W)rfQ (2)
Xn) — J ?((0l, Шга) '
где 2 — единичная сфера 20>?==Ь dQ— элемент поверх-
г = 1
ности этой сферы, а функция /тп имеет следующие значения: если п четно и т^> п, то
п
*) В п. 1 порядок оператора L обозначался через 2т.
166 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
если п четно и т < п, то
п
L(^H) /IVя-(4)
(2*)'
если /» нечетно и тЪ>п, то
2
если га нечетно и т < ге, то
т»-1
2
Но теперь интеграл (2), вообще говоря, расходится, поскольку на единичной сфере 2 имеется в общем случае многообразие Р, на котором L (и^.....и>п) = 0.
Однако, если оператор L регулярен и, следовательно, многообразие Р не имеет особых точек, то интеграл (2) можно регуляризировать следующим образом:
и (хх,----хп) = / j-j--—г- dQ = hm и, (jclt .... *n),
Здесь через 2е обозначено множество тех точек на единичной сфере, для которых | L(wu .... ш„) | > s.
Нам надо прежде всего показать, что существует предел для обобщенной функции и6, т. е. что для любой финитной бесконечно дифференцируемой функции ср существует предел
lim(a„ <p(*i. хп)) = (а> ?Oi.....XJ)-
где
2]
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 167
Заметим, что если fmn (2 Xi<°i) определена' по одной из формул (3)—(6), то (fmn, <?) является бесконечно дифференцируемой функцией от и>и ..... ши. Это проверяется простой заменой переменных в интеграле, выражающем (fmn,' ?). переводящей зависимость от и>и . . ., ш„ в аргумент ср.
Обозначим (fmn (2 Xi^i)' ?) через г (<s>x, .... ши) и покажем, что существует предел
,. Г г (out, ..., <оп) dQ , . hm /--—= (и, ср).
9«
Чтобы доказать это, представим r(u>lf и>п) в виде
п
г=2гг> Где функция ^(cbj, шп) бесконечно диффе-
ренцируема и обращается в нуль вне достаточно малой области Надо рассмотреть интегралы лишь для тех
функций г{, для которых замыкание области Sj пересекается с многообразием Р, где L(tou <оп) = 0. Таким образом,
можно предположить, что функция ri(iol, .... соге), для кото-
рой надо установить существование предела
l,m j
обращается в нуль вне достаточно малой окрестности точки А, принадлежащей многообразию Р. В этой точке, как и на всем многообразии Р, градиент L не обращается
в нуль. Поэтому в точке А одна из производных
(/=1,2, .... га) не обращается в нуль. Кроме того, в точке А
мы имеем 2 ш* ~ 1 и хотя бы одна из координат ш4 от-
лична от нуля. Пусть для определенности Ф 0 и <лп Ф 0.
Тогда в окрестности точки Л на Р можно ввести систему координат L, со2» шп-1- В этих координатах d&J выра-
зится в виде
dQ=I(L, со2, {on_1)dLdix>2 ¦¦- du)n_1,
168 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
CO
J J* Г у to,, .... can_t)/(L, (d2, (on.1)^Z," ^
X dm2 . . . dwn_1.
/г I dL. — при e—»-0 стремится к глав-
ii|>«
ному значению по Коши, то существует предел
lim /'г'<?"n)f.
а следовательно, и предел
lim / - п> =Um(a„ ср).
Мы доказали, что существует регуляризация по Коши интеграла
J L (co1( . . ., ш„) V J
a
По каждой регуляризации интеграла (8) мы можем определить обобщенную функцию (2)
a
следующим образом:
«•¦'С......*»-/^?з-
а
где интеграл понимается в смысле нашей регуляризации.
