Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
6. Разложение функции г\ Обобщенная функция гх была введена в п. 9 § 3 по формуле
(r\ ср)= jrx^(x)dx, (1)
пригодной при ReX>—п. Очевидно, что функция гх при этих значениях X есть однородная функция степени X. Мы преобразовали в п. 9 § 3 формулу (1) к виду
где
(Л <р) = 2п/ rb+»-lS9 (г) dr.
о
9 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Таким образом, мы получаем:
130 гл. i. простейшие Свойства обобщенных функций t&
есть среднее значение основной функции ср(х) = <р(х1, .... хп) на сфере радиуса г. Таким образом, (гх, ср) совпадает с результатом применения функционала 2nx+ ((i.=X-4-/i—1) к четной основной функции 5^(г) и, следовательно аналитически продолжается в плоскость X, за исключением лишь точек Х=—п, —п—2, ... Очевидно, что при этом продолжении гх остается однородной функцией степени X.
Разложение функции гх в ряд Тейлора или ряд Лорана можно получить непосредственно из соответствующих разложений функции Qnx%. Например, ряд Тейлора в окрестности регулярной точки Хд имеет вид
rx = /¦*« -f- (X — Хо) In г -f- -1 (X — Xq)2 /¦*• In2 г 4- .....
где под rx° \пк г понимается функционал, действующий по формуле
(>XU \пк г> ср) _-
ОО
= Qn f г^п-Чп* г [s, (г) - ср(О) -... - ^-"(О)] dr
о
при — т — rt<ReXo< — т — п -\- I.
Выпишем разложение функции гх в ряд Лорана в окрестности точки Х = — п—2k. Это разложение, естественно,
совпадает с разложением в ряд Лорана для функции 2гех+ в окрестности точки р = —2k— 1 (п. 3), так что мы имеем:
rx = Q 5(2/0 _-__цд r-2k-ni
4-Q„(X4-rt4-2fe)r-2fe-«lnr-f- ... (2) Здесь под г~2к~п lnOT г понимается функционал
со
(r-2fe-"ln"»r, S,p(r)) = У [5, (г) — ср(0)— ...
о
• • • - (2S)T 5Г "2) (0) - ^ 5f*> (0) 0 (1 - г)] rfr. (3)
11
§ 5. свертка Обобщённых функций
131
Заметим, что г~2к~п не есть значение обобщенной функции гл при Х =—2k—п (последняя функция имеет полюс при этом значении X), а значение при Х = —2k — п главной части лоранова разложения гх.
В приведенных выше разложениях обобщенная функция /-Хп in* г является присоединенной функцией степени Xq и порядка k, а г-гк-п\пт г — присоединенной функцией степени —2k—п и порядка т.
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В классическом анализе часто используется операция свертки двух функций f(x) и g(x):
/(*)*?(*)= ff<&g(x — Z)dS. (1)
В анализе обобщенных функций аналогичная операция имеет, пожалуй, еще более существенное значение.
Определение операции свертки в области обобщенных функций опирается на понятие прямого произведения обобщенных функций. Поэтому мы начинаем с описания прямых произведений (п. 1). В остальных пунктах этого параграфа будет введена и изучена операция свертки и будут указаны примеры ее применения.
1. Прямое произведение обобщенных функций. Пусть даны обобщенная функция f(x), определенная на пространстве Хк основных функций от k независимых переменных
хь х2.....хк, и обобщенная функция g(y), определенная
на пространстве Ут основных функций от т независимых переменных уи у2, .. ., ут. С помощью этих обобщенных функций мы определим обобщенную функцию h(z) на пространстве Zn основных функций от п = k -\- т независимых переменных z1 = x1, z2 — x2, .... гк = хк, zk+1=yu
zlt+2=y2..... zn=ym. Для этого поступим следующим
образом. Основную функцию ср (дг) будем обозначать теперь через ср(х, у). Зафиксируем х и рассмотрим <р(дг, у) как функцию только от у. Очевидно, это основная функция в пространстве Ym. Применим к ней функционал g(y)\ в результате получим некоторую функцию (х). Эта функция
9*
130 гл. i. простейшие Свойства обобщенных функций \$
есть среднее значение основной функции ср(х) = ср(х1.....хп)
на сфере радиуса г. Таким образом, (гх, ср) совпадает с результатом применения функционала Qnx%. ({a —X-f-#—1) к четной основной функции S9(r) и, следовательно аналитически продолжается в плоскость X, за исключением лишь точек Х =—п, —п—2, ... Очевидно, что при этом продолжении гх остается однородной функцией степени X.
Разложение функции гх в ряд Тейлора или ряд Лорана можно получить непосредственно из соответствующих разложений функции 2„х+. Например, ряд Тейлора в окрестности регулярной точки Xq имеет вид
гх = rx» -f-(X — Хо)г»» ln/--f--l(X — X^rMn2/"-}- . ....
где под rx° lnfc г понимается функционал, действующий по формуле
(/-x»lnfcr, ср) =
со
= Qnf r^n-i]nJcr [s9 (г) - ,р(0)-... - (-?^yj ^"«(О)] dr о
при — т — п < Re Xq < — т — п-\-\.
Выпишем разложение функции гх в ряд Лорана в окрестности точки Х = — п—2k. Это разложение, естественно, совпадает с разложением в ряд Лорана для функции 2пх+ в окрестности точки [а ==—2k— 1 (п. 3), так что мы имеем:
гх = 2 ь(27с) И._I__L Q r-2S-f»_i_
r п (2k)\ X + п + 2k ^ п ^
+ 2п(Х4-/г + 2/г)/-~2*-«!пг-|- . . . (2) Здесь под г~2к~п\пт г понимается функционал
со
(/.-2*-«1птл 5?(Г))= j' гв-а1п»г[5,(г)-9(0)- ...
о
1)
§ 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
