Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
x+t
и^х, 0 = y f «о
x—t
Дифференцируя а1(х, t) по t, находим новое решение
ди^{х,Г) =g8(Xi t) = l[a0(x-i-t)-\-a0(x — t)}, -удовлетворяющее начальным условиям
«,(*. 0) = Щ^-==и0(х),
du<i (х, 0)__1_
di ~~ 2
ди0(х) <Эы0 (л:)] __Q
dt dt J
Отсюда видно, что решением, отвечающим начальным условиями^), служит функция
Мы получили известную формулу Даламбера.
В дальнейшем (§ 6) аналогичными методами мы найдем фундаментальные решения задачи Коши для широкого класса уравнений в частных производных.
5. Интегрирование и дифференцирование произвольного порядка. Хорошо известная формула Коши
0 0 0 0
X
о
сводит вычисление га-кратной первообразной от функции g(x), определенной при к вычислению однократного
интеграла. Эта формула может быть записана в виде
хп~х хп~1
gn (*) = g (X) * ^—= g (X) * ^ ,
где функции g(x) и дг"-1 при х < 0 заменяются нулем.
5] § 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 149
или
Xх-1
"+ Х+ г
г л.л = г (X Л- „\ ' (3 )
.х+ц.-1
Г (X) Г (|х) — Г (X + ц)
Представляется естественным обобщить эту формулу на случай любого показателя X и любой обобщенной функции сосредоточенной на полуоси определив первообразную
порядка X от функции g как свертку
g\(x) = g(x)*Y^. (1)
Непосредственно эта формула действует при ReX>0. Для
Xх-1
остальных значений X под рг^у следует понимать обобщенную функцию, построенную в п. 5 § 3; так как она остается сосредоточенной на полупрямой х^>0, то корректность определения свертки сохраняется. Удобно обо-хх~1
значить jr^y = Ф\. так чт0
gx(x) = g(x)*<bx. (2)
Из равенства
Ф_Л = §(й)(х) (й = 0. 1, 2____)
(§ 3, п. 5) мы выводим, что
go (х) = g (jc) * Ф0 = g(x) * о (jc) = g(x),
gi (x) = g(x)* Ф_х = g(x) * 8' (jc) = g" (jc)
и т. д.; таким образом, формула (2) дает при различных значениях X не только интегралы, но и все производные функции g(x). В связи с этим мы условимся также говорить, что свертка
g-X = g*®-\
есть производная порядка X обобщенной функции g и обозначать это так:
g-x==a^g-Для функционалов Фх имеет место формула
Фх*Ф,. = Фх+1Ь. (3)
150 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[5
Докажем сначала, что она верна при Re л > 0, Re jj. > 0. Так как
Xх-1 ж*'1 Г 5х-1 (х_EV1-1
^х* «V — г (Х) * г ((х) J г (X) г од.) а5.
ХХ+^~1
Х+^ Г (Х. + Р-) ' то требует доказательства лишь соотношение
о
Положим в левой части 5=хс; тогда интеграл слева приведется к интегралу
о
и нужное соотношение оказывается следствием известного соотношения
о
Для остальных X, [л формула (3) остается справедливой в силу единственности аналитического продолжения.
Из формулы (3) вытекает, что для любой обобщенной функции g (сосредоточенной на полуоси х ^ с)
{g*<bd*% = g*(®\*®v) = g*®x+r (4)
При |а = — X отсюда видно, что дифференцирование и интегрирование одного и того же порядка — взаимно обратные операции. Далее, из формулы (4) видно, что
d? (<Pg\_d*+4g
dx* \dxi ) dx?+l K }
при любых Рит.
5] § 5. СВЕРТКА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ 151
В частности, при ц = 1 имеем: dx
х
-X
dxx - (*) — Г(_х++1) . (6')
Если в формуле (6) р является целым отрицательным числом или нулем, ja = — k, то мы получаем, что
dx х~к~х~1
^(»№(*))=*Г(1*--Х)- <7>
С другой стороны, если ц.— Х =— k является целым отрицательным числом или нулем, то из формулы (6) следует, что
ах /
±-) = 8(*>(х). (8)
dxK \ Г(Х —Л)/ w
Примеры. 1. Рассмотрим так называемое интегральное уравнение Абеля
g(x)= 1 [ . (9)
*l ' Г(1-«) / (*-S)« ^ '
Здесь g — заданная, /—искомая функция.
В классической теории *) число а предполагается меньшим 1; это условие обеспечивает сходимость интеграла в правой части. Однако мы в этом предположении не нуждаемся, так как при любом а можем понимать правую часть уравнения (9) как интеграл порядка Х = — а -4-1 от обобщенной функции /, т. е. как свертку
*(*) = /(*)*Фх. (9')
Для получения выражения функции / через g нужно, очевидно, применить к последней дифференцирование порядка X.
*) См. Г. М. Фихтенгольц, Курс, т. III, п. 592, стр. 290 (случай а = i/a)-
Отметим еще другие следствия формулы (3). Заменяя в ней X на —X, можем написать:
dx ( х*~1\ х»-*-1
—i —— )= —t-¦ (6)
dxx\r(ix)/ Г ((t — Я)
152 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Таким образом, f (х) ~-^-\-g(x)- Решение получается сверткой с функционалом Ф_х:
g(x) * Ф_х = (/ (х)* Фх) * Ф_х ==/(*) * (Фх * Ф_х) =
= /(*)* 8 =/(*). . (10)
Пусть, в частности, 0<а< 1; тогда Фх приводится
1 -а
к обычной функции р ^_^ х+ и уравнение (9') записывается в виде (9). В этом случае —Х = а—1 и функционал Ф_х сингулярен, так что, вообще говоря, решение уравнения (9) не приводится к классической формуле. Если дополнительно предположить, что функция g(x) дифференцируема, то запись решения в классической форме уже возможна. Именно, мы имеем:
