Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
~ — дифференцирование в смысле обобщенных функций, а (х-\- i0)~',s — локально интегрируемая функция, определенная формулой (1) при Х =-у.
Формулы (10) и (11) указывают еще и на следующее важное обстоятельство: при X Ф—1, —2, ...
lim (xA-iy)x = (x-\-i0f, (12)
lim (х-\-1у)* = (х — i0)x (13)
у ->-o
в смысле обобщенных функций. Действительно, для достаточно больших ReX это следует из самого определения этих функций,а при дифференцировании в смысле обобщенных функций сходящаяся последовательность переходит в сходящуюся.
В целых отрицательных точках —п функции (x-\~i0)~n и (х — Ю)~п можно также вводить при помощи дифферен-
В частности, при п = 2
со
(ОТ ¦ * <*>) - / + *<-*>-»«» *, - „ ? (0); (8)
О
со
126 гл. i. простейшие свойства обобщенных функций [4
т. е. в силу формулы (7) при п — 1,
d In (х-Ю) = -^. (19)
Таким образом, обобщенные функции (х ± /0) мы могли бы определить формулами (16) и (19), а (х ± Ю)~п в остальных целых отрицательных точках — снова при помощи'формул (10) и (11).
Так как предельные соотношения (14) и (17) имеют место и в смысле обобщенных функций, то мы получаем, что предельные соотношения (12) и (13) при всех X выполняются в смысле обобщенных функций.
Это позволяет, например, вместо формул (8) и (9) написать:
со
о
со
lim Г , Т <f> rf* = /**<*> + * Х) - 2* (0) dx + fa ср- (0).
цирования. Напомним, что выше (§ 2, п. 2, пример 6) была введена (локально интегрируемая) функция
!п(лг-т-Ю)= lim 1п(лг-|-гу)==1п|лг|-1-/гс0(—х), (14)
у +о
производная которой равна
^1п(х-+-Ю) = 1- —(15)
Отсюда и из формулы (6) при п=\ мы видим, что
гг,п(*+'°) = згЬб- (16)
Аналогично (14) можно ввести
1п(х — Ю)= lim ln(x-f-/)/) = ln|jc|—- ш0(— х). (17)
2/ -> -О
Производная этой функции равна
^ln(jf —/0) = l-b/«8(jf). (18)
5] § 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ 127
5. Разложение функций (х -\- Ю)х и (х — /0)х в ряд Тейлора. Обобщенная функция (x-\-iO)x как целая функция параметра X при любом значении Хд разлагается в ряд Тейлора по степеням .X — Хд, сходящийся при всех X:
(х ¦+- i0)x == (х + i0)x° -+- (X — Хд) (х -f- Ю)х° In (х 4- Ю) +
Н- I(X — Хд)2(х + /0)x»ln*(х + Ю) + .. . (1)
Написанные в равенстве (1) новые обобщенные функции (x-\-lO)x" In (х -f- Ю), . . . суть последовательные производные по X от (x~-\-iO)k при Х = Хд. Явные выражения этих обобщенных функций можно получить, если сравнить разложение (1) с аналогичным разложением по степеням X — Хд развернутого выражения
(х -+-Ю)х = х\ + e*x" хх_. (2)
Мы имеем при этом для Хд Ф —1, —2, . . .
х\ = л? -4-0 — V) In х+ -f-1 (X — Х0)2 хх? In2 х+ + ..., (3)
eiXV_ = eiX»*(i + ы(х — Хд) — (х — Хд)2 4- ...) х
X (хХ1 4- (X— Хд) xXI In х_ 4- 1 (Х-Х0)2 хх_' 1п2х_ + ...). (4)
Сравнивая коэффициенты ряда (1) и ряда, получаемого подстановкой рядов (3) и (4) в формулу (2), получаем, заменяя снова Хд на X:
(Х 4- /0)х In (х 4- Ю) = х+ In х+ 4- lneiX*x\ 4- ешх\ 1п х_, (5) (х4-/0)Чп2 (дг + Ю) =
= хх+ In2 х+ 4- eiX* [xl In2 х- 4- 2/7rxi In x_ — K2xi] (6) И Т. Д.
Эти формулы справедливы при X Ф—1, —2, ... Разложение функции (х — /0)х в ряд Тейлора по степеням X — Х0 имеет вид
(х _ /0)х =* (х — /0)х° 4- (X — Хд) (х — Ю)х° 1 п (х — 10) 4-
4- 1 (X — Хо)2 (х — /0)" ! п2 (х — 10) +- . . . (7)
128 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [5
Мы обозначили здесь через
(х — Ю)Чп(х — /0), (х — /0)Чп2(х — /0), ...
последовательные производные по X целой функции (х — /0)х. Таким же путем, как и выше, можно получить формулы
(х — Ю)х In (х-Ю) = х+ In х+—tVe~ixV_ -(- е~1хлх\ 1п х_, (8) (х—Ю)Чп2(х—Ю) =
= х+ In2 х+ -j- [х^ In2 х_ — 21тсх\. In х_ — ^xl] (кф — 1, —2, ...) (9)
и т. д.
Для получения соответствующих формул при Xg, равном целому отрицательному числу —п, мы вместо формул (3) и (4) рассмотрим соответствующие ряды Лорана:
х (— l)"-1^"-1) (х) . _«.,,.._«. . *+= (В-1)1(Х + п) + + + + 1пх+ +
4-!(Х-но2хГш2х++ .... (Ю)
4-I(X + n)2xInln2x_+ .... (И)
eft-==(_i)«J1+i-„(x-r-rt)--^(x-T-^-/^(x + №)»4-...].
(12)
Умножая (11) на (12) и складывая с (10), находим:
+ (Х + Я)[/тс(_1)»*="н-(-1)"-1^^^-ь*-»1п|л|]-н
--2—^~ (л-1)1 +
4. (—1)п~17i2xl" 4- 2/1г (— l)"xZ"lnx_-f-x_raln2| х| ] . (13)
6] § 4. ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ФУНКЦИЙ 129
= (—1) тех. -4- (—1) -2~ (п —1)1 +*~ratn|x|, (14)
= (—1) __-{-(-- 1) +
(х -J- In (х -4- Ю) =
= (-i)"/TCx:n+(—1)
(х-4-/0)-" In2 (x+J0) =
п~х) (.
-г-2/тс(— 1)их1п1пх_ -f-x-"ln2|x| (15)
и т. д.
Формулы (14) и (15), как следует из общих соображений, представляют собой результаты предельного перехода при Хо->—п в формулах (5) и (6). Аналогично
(х — Ю)-и In (х — Ю) = ( — l)n_l HxZn -4-
4-(-1)и_1 -г- + х~п 1п Iх I- (16)
(Л_/0)- ш2 (х-ю) = (-1)и/| 4- (-1)»-!^:" 4-
4- ( — I)""1 xZn In х_ 4-х-» In2 I х |. (17)
Читателю предоставляется самому определить, какие из введенных функций однородные или присоединенные той или иной степени и порядка.
