Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 5.
сложим интегралы по 2, отвечающие разным слагаемым в формуле (21), мы получим удвоенный интеграл по поверхности //(?!, .... ?ге)=0. Если обозначить через do элемент поверхности .....%„)~0), заключенный в телесном угле, опирающемся на dQ, и через ср — угол между нормалями к площадкам da и dQ, то, очевидно,
dQ =
IS Г-1 Коэффициент cj равен
1
| COS ср | da_ 1 2 ^iH4 1 da
"' |ei*|gradtf|'
дР
dv
В силу однородности многочлена P(v, a>lt .. дР i , V dP
з dv
1
+ 2 ^ == тР (Vj'Ши'"=0
(так как Vj — корень уравнения Р (v, юи
12 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
178 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
1
др
dv
v=v.
s
дР
to,.
Заменяя шЛ на г»Д и P(l, Slf .... на .....?и),
получаем:
_ _ "j"" — _ (sgn VJ>W_1 15
Далее,
I 2 ¦^a'ba 4- V I [sgn (2 ¦**«>* 4- «/0f =
= i ^ (sgn vjr-112**^ (2^*+C_1.
и для любого у имеем:
(2 **ь+ъ)т-я-1=«г*"1 (2 *А -и)""*"1 =
= \ iTj-/ •
Подставляя значения cj, dQ и функции от 2 хк(ок Ч- vjt в формулу (22), мы получаем:
а (/, л-!, .... хп; X) ==--^-j-2--X
___"1sgn(^
(Х + 1) (Х + 2) ... (X + m — 1)"" ^
/2^i±iU_d«_
+ у\ ш / J |grad//|Sgn(2^)- {26)
Предельный переход при X—э-—л дает нам формулы Гер-глотца — Петровского для фундаментального решения задачи Коши. При этом, если п нечетно, полученная формула
п-1
х j | m-x-"l2 **ь + < Г"'-1 sgn (2 *л± 'Г~!
я=о
поэтому
3]
§ 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
179
имеет вид
п-1
(—1) 2
а(хи .... хп) — 2(2я)»-1(от_л_1)! X
Я=0
da
где через ш обозначено выражение -
|gradtf|sgn( J] ?fctf5ft
Формы подобной структуры будут подвергнуты детальному изучению в гл. III.
Многочлен Q ^-^-J
здесь при предельном переходе отброшен, так как интеграл от него равен нулю. При четном п получается формула
2 (_ 1)"/а
и Оц .... хп) = (2lc)n (от_л_ 1)! X
я=о
2 +*
(25)
Когда порядок уравнения т меньше га—1, формулы для фундаментального решения задачи Коши приобретают вид: при нечетном п
те+1
«(*..... *п) = ^т- f S(n-TO)(S^ + /)(B (26)
^ л' я=о
и при четном га
2
Используя аффинно-инвариантную запись разложения дельта-функции на плоские волны (§ 3, п. 11, формулы (4) и (5)), и выбирая в качестве области интегрирования поверхность Н= О, можно было бы получить формулы (24)—(27) более прямым путем, не обращаясь к интегрированию по единичной сфере.
12*
ДОБАВЛЕНИЕ 1
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Мы указывали в § 1, что обобщенные функции можно задавать локально, т. е. на основных функциях, отличных от нуля только в заданных произвольно малых окрестностях каждой точки.
В этом добавлении мы получим этот результат вместе с другими, касающимися локальных свойств обобщенных функций; такие результаты имеют многочисленные применения в теории.
Вначале мы вернемся к изучению пространства К основных функций. Мы покажем, что в числе основных функций имеются такие, которые в заданных непересекающихся ограниченных замкнутых множествах принимают заданные постоянные значения. Наличие таких основных функций позволит наиболее простым образом подойти к изучению локальных свойств обобщенных функций.
1. Построение основных функций путем усреднения непрерывных. Покажем, что для заданной (не обязательно финитной) непрерывной функции f(x) можно построить бесконечно дифференцируемые функции /8 (х) так, что при 3 —> О
/а (*)-*/(*)
равномерно в любой ограниченной области.
В качестве f5(x) возьмем усреднение функции f(x) вида
Мх) = Сг f /фсрСг — 5. 8) Л. (1)
1аз-?|<8
1] добавление 1 181
\ 0 при |*| > 8; Сь |а/<5
dx.
Из выражения (1) видно, что функция f(x) бесконечно дифференцируема вместе с функцией <?(х, 8). Далее, мы имеем:
/(*)—/,(*) =
= С8 j* /(*)?(* —5. 8) <Й —С, j* /(5)<р(* —5,8)rf$ =
\x-k\<b |ar-6|<8
= C5 J* [/(*)—/(?)]? (jc—5.8) Л.
Гаг—e |<5
Так как f(x)—непрерывная функция x, то в любой фиксированной ограниченной области для достаточно малого 8 величина \f(x)—/(S)| при \х — ?|<& становится меньше заданного е. Поэтому, выбирая 8 указанным образом, мы получаем:
|/(х)—/8(х)1<е.С8 J сро — 5, 8)d5 = e.
что и утверждается.
В частности, если функция f(x) финитна, то и /3 (х) финитна: /8 (д;) = 0 вне Ь-окрестности носителя функции f(x).
Если функция f(x) постоянна в шаре радиуса 8 с центром в точке х0:
f(x)==sf(x0) при \х — х0|<8,
то
/в (*о) = / (*о) Cbf<?(x — l,b)dK=f (*о).
R
Следовательно, «ела функция f(x) постоянна в области О, то fbi.x) постоянна (и равна f(x)) в области G5, состоящей из тех точек х (?0, которые содержатся в О вместе с шаром радиуса 8.
где ср (лг, 8) — функция, с которой мы встретились в п. 2 § 1:
182 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
Отметим еще, что если значения функции /(х) всюду заключены между 1 и 0, то этим же свойством обладает и функция /5 (х).
