Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 49

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 125 >> Следующая


где /(А, о)2, .... шп_1) — гладкая функция. Следовательно,

[ r*(<*i, «n)dQ== J L ((Oj, .... ш„)

lim J...J ri{L'*>Wn-\lI{L'^'-'Wn^)dLdo>2^n_1=,

2] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 169

Г г (сеч.....cow) dQ _ Г Q

(9)

Две регуляризации, подчиняющиеся условию (9), отличаются друг от друга на следующее выражение:

J* г (сох, .... <ога) йГ[а,

(10)

где Р — снова многообразие нулей полинома L(iola..., шп) = 0 на единичной сфере Q, а ц — некоторая мера на этом многообразии.

Действительно, так как для функции г, обращающейся в нуль на многообразии Р, все регуляризации интеграла (8), подчиняющиеся условию (9), дают один и тот же результат (поскольку такую функцию можно представить в виде г = rxL), разница между двумя регуляризациями не может зависеть ни от значений функции г (<ои ..., шп) вне многообразия Р, ни от значений производных ее на самом многообразии Р, а значит, имеет вид (10).

Покажем теперь, что две различные регуляризации интеграла (2), подчиняющиеся условию (9), отличаются друг от друга на решение однородного уравнения

" ¦ о.

\дху ' '"' дх.

Действительно, разность между этими обобщенными функциями мы можем по (10) представить в виде следующего функционала:

s (хь .... хп) = ffmn ( 2 d[l.

р

Применяя к полученному выражению оператор L, мы имеем:

1 " р

и так как интегрирование идет по многообразию Р, где L (<»!.....= 0, последний интеграл обращается в нуль.

Нам осталось показать, что интеграл (2) действительно дает решение уравнения (1). Для проверки этого факта применим к интегралу (2) дифференциальный оператор

Для наших целей годится любая регуляризация интеграла (8), подчиняющаяся тому условию, что если функция г имеет вид

Г .....<°и) = L ((¦>!, ..., соп) ГХ (а>ь а>п),

где гиг! — бесконечно дифференцируемые функции, то

170 гл. г. простейшие свойства обобщенных функций [3

L(di:.....dk;)' Мы будем иметь:

S

Используя формулы (3) — (6) для функции а также

формулы для разложения S-функций на плоские волны (§ 3), мы получаем: если п четно, то

2

если п нечетно, то

L[-dirl- dzh)u(Xi- ••••

п- 1

* ' a

Таким образом, если конус L((ov . • не имеет осо-

бых точек, то формулы (2) — (6) действительно выражают

решение уравнения L и = ^

3. Фундаментальное решение задачи Коши. Рассмотрим дифференциальное уравнение

(-3F- 4' дк)и=° (1)

Р

порядка m по переменному t.

Несколько позже мы сформулируем ограничения, наложенные на это уравнение. Мы ставим себе целью построить фундаментальное решение задачи Коши для этого уравнения (см. § 5, п. 4). Иными словами, мы должны найти решение u(t, х), удовлетворяющее начальным условиям

31

§ б. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

171

Решение задачи Коши для уравнения (1) при произвольном числе независимых переменных мы проведем сведением к задаче Коши для двух независимых переменных. Относительно уравнения (1) сделаем следующее предположение: дифференциальный оператор

р-(ж' -дг)^р{ж' ^Ж' ••- ^ж) (2) обладает тем свойством, что для уравнения

задача Коши корректна.

Перейдем теперь к разысканию фундаментального решения задачи Коши для уравнения (1).

Учитывая, что

2гк

х= — п

при начальных данных дки

t=0

это уравне*

IX

= 0 (Л = 0. 1, . .

(§ 3, п. 9), рассмотрим это уравнение (1)

д д

т

¦2),

2г\

dtm~ Разложим

1 ''-о МЧ5)'

по формуле

(4)

2гК

2гк

ц.г(^=)

п-1.

2 п A -f- 1 \ Q

P„1t ' Г



Будем искать решение уравнения (1) с начальными условиями (4), в которых правую часть последнего равенства

172 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3

заменим выражением 1

п-1 Qn« 2 Г

'шпхпI•

Если искать решение этой задачи в виде функции

«„> (t, %, X) = иш (/, ШуХу -j- • . . + <»»*„,. ~Х),

то мы придем к следующей двумерной задаче: найти решение um(t, ?, X) уравнения (3)

при начальных условиях д*иш (t, 5, X)

дт-хи„ (t, 6, X)

(=0

t=0

О (А = 0. 1. . . ., т — 2),

п-1 2 т

(5)

Искомое фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (1) представляется в виде

и (t, х) — J uw(t, x^i-f- ... -f.jffnu>n, —га) d 2. (6)

Мы положили X = — га, поскольку именно при этом значе-нии X функция -/X-f-ra\ 00Раш-ается В ^(Х1.....хп)-

Функция ?, X) в свою очередь выражается через

фундаментальное решение От (t, %) задачи Коши для уравнения (3), а именно:

«„(/. «. Х) =—^гг- /" <?„('• 5 —f<*i|. ОТ

3] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 173

n.~r(x-±i)^ U J

X= — n

(9)

в случае нечетного числа измерений получается более простая формула:

Q„it 2 (/г — 1)1 а

Дифференцирование здесь нужно понимать как дифференцирование в смысле обобщенных функций, а интегрирование— как интегрирование обобщенных функций, непрерывно зависящих от параметра.

Подчеркнем, что указанные формулы справедливы для всех уравнений, для которых корректна задача Коши, например для любых параболических и гиперболических уравнений.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed