Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
где /(А, о)2, .... шп_1) — гладкая функция. Следовательно,
[ r*(<*i, «n)dQ== J L ((Oj, .... ш„)
lim J...J ri{L'*>Wn-\lI{L'^'-'Wn^)dLdo>2^n_1=,
2] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 169
Г г (сеч.....cow) dQ _ Г Q
(9)
Две регуляризации, подчиняющиеся условию (9), отличаются друг от друга на следующее выражение:
J* г (сох, .... <ога) йГ[а,
(10)
где Р — снова многообразие нулей полинома L(iola..., шп) = 0 на единичной сфере Q, а ц — некоторая мера на этом многообразии.
Действительно, так как для функции г, обращающейся в нуль на многообразии Р, все регуляризации интеграла (8), подчиняющиеся условию (9), дают один и тот же результат (поскольку такую функцию можно представить в виде г = rxL), разница между двумя регуляризациями не может зависеть ни от значений функции г (<ои ..., шп) вне многообразия Р, ни от значений производных ее на самом многообразии Р, а значит, имеет вид (10).
Покажем теперь, что две различные регуляризации интеграла (2), подчиняющиеся условию (9), отличаются друг от друга на решение однородного уравнения
" ¦ о.
\дху ' '"' дх.
Действительно, разность между этими обобщенными функциями мы можем по (10) представить в виде следующего функционала:
s (хь .... хп) = ffmn ( 2 d[l.
р
Применяя к полученному выражению оператор L, мы имеем:
1 " р
и так как интегрирование идет по многообразию Р, где L (<»!.....= 0, последний интеграл обращается в нуль.
Нам осталось показать, что интеграл (2) действительно дает решение уравнения (1). Для проверки этого факта применим к интегралу (2) дифференциальный оператор
Для наших целей годится любая регуляризация интеграла (8), подчиняющаяся тому условию, что если функция г имеет вид
Г .....<°и) = L ((¦>!, ..., соп) ГХ (а>ь а>п),
где гиг! — бесконечно дифференцируемые функции, то
170 гл. г. простейшие свойства обобщенных функций [3
L(di:.....dk;)' Мы будем иметь:
S
Используя формулы (3) — (6) для функции а также
формулы для разложения S-функций на плоские волны (§ 3), мы получаем: если п четно, то
2
если п нечетно, то
L[-dirl- dzh)u(Xi- ••••
п- 1
* ' a
Таким образом, если конус L((ov . • не имеет осо-
бых точек, то формулы (2) — (6) действительно выражают
решение уравнения L и = ^
3. Фундаментальное решение задачи Коши. Рассмотрим дифференциальное уравнение
(-3F- 4' дк)и=° (1)
Р
порядка m по переменному t.
Несколько позже мы сформулируем ограничения, наложенные на это уравнение. Мы ставим себе целью построить фундаментальное решение задачи Коши для этого уравнения (см. § 5, п. 4). Иными словами, мы должны найти решение u(t, х), удовлетворяющее начальным условиям
31
§ б. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
171
Решение задачи Коши для уравнения (1) при произвольном числе независимых переменных мы проведем сведением к задаче Коши для двух независимых переменных. Относительно уравнения (1) сделаем следующее предположение: дифференциальный оператор
р-(ж' -дг)^р{ж' ^Ж' ••- ^ж) (2) обладает тем свойством, что для уравнения
задача Коши корректна.
Перейдем теперь к разысканию фундаментального решения задачи Коши для уравнения (1).
Учитывая, что
2гк
х= — п
при начальных данных дки
t=0
это уравне*
IX
= 0 (Л = 0. 1, . .
(§ 3, п. 9), рассмотрим это уравнение (1)
д д
т
¦2),
2г\
dtm~ Разложим
1 ''-о МЧ5)'
по формуле
(4)
2гК
2гк
ц.г(^=)
п-1.
2 п A -f- 1 \ Q
P„1t ' Г
№
Будем искать решение уравнения (1) с начальными условиями (4), в которых правую часть последнего равенства
172 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
заменим выражением 1
п-1 Qn« 2 Г
'шпхпI•
Если искать решение этой задачи в виде функции
«„> (t, %, X) = иш (/, ШуХу -j- • . . + <»»*„,. ~Х),
то мы придем к следующей двумерной задаче: найти решение um(t, ?, X) уравнения (3)
при начальных условиях д*иш (t, 5, X)
дт-хи„ (t, 6, X)
(=0
t=0
О (А = 0. 1. . . ., т — 2),
п-1 2 т
(5)
Искомое фундаментальное решение задачи Коши для уравнения (1) представляется в виде
и (t, х) — J uw(t, x^i-f- ... -f.jffnu>n, —га) d 2. (6)
Мы положили X = — га, поскольку именно при этом значе-нии X функция -/X-f-ra\ 00Раш-ается В ^(Х1.....хп)-
Функция ?, X) в свою очередь выражается через
фундаментальное решение От (t, %) задачи Коши для уравнения (3), а именно:
«„(/. «. Х) =—^гг- /" <?„('• 5 —f<*i|. ОТ
3] § 6. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ 173
n.~r(x-±i)^ U J
X= — n
(9)
в случае нечетного числа измерений получается более простая формула:
Q„it 2 (/г — 1)1 а
Дифференцирование здесь нужно понимать как дифференцирование в смысле обобщенных функций, а интегрирование— как интегрирование обобщенных функций, непрерывно зависящих от параметра.
Подчеркнем, что указанные формулы справедливы для всех уравнений, для которых корректна задача Коши, например для любых параболических и гиперболических уравнений.