Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем теперь, что если F— ограниченное замкнутое множество и U — содержащая его открытая область, то существует основная функция ср(х), равная 1 на F, О вне U и заключенная между 1 и О в остальных точках.
Действительно, так как F ограничено, то оно содержится в U вместе со своей s-окрестностью при некотором е > 0.
Обозначим через Fx замыкание -^--окрестности множества F,
через Ux открытую -g--окрестность множества F и через W
ее замкнутое дополнение до всего пространства Rn. Непрерывная функция точки х
положительна в области Ux и на множестве Fx обладает положительным минимумом \х. Функция
также непрерывна, равна нулю вне области Ux и единице на множестве FL, а в остальных точках заключена между 0 и 1. В качестве искомой основной функции <р(х) достаточно
взять /5(х) с 8 = .
2. Разложение единицы. Пусть имеется некоторое счетное покрытие «-мерного пространства Rn открытыми ограниченными областями иг, U2, .... Um, . . ., локально конечное в том смысле, что каждая точка покрывается лишь конечным числом множеств из совокупности Uu U2, . . . .... Um, требуется построить бесконечно дифференцируемые функции ех (х), ег(х).....ет(х)< ••• так» чтобы
выполнялись следующие условия:
р (х, W) = min р (х, у)
а)0О*(х)<1;
б) ek(x)=0 вне области Uk (k—1, 2, . . .);
в) *i (х) Н-е2 (х) 4- . . . -г-?ш(х)+ . . . ss 1.
2]
ДОБАВЛЕНИЕ 1
183
Слева при каждом х, в силу б), отлично от нуля лишь конечное число слагаемых. Совокупность функций {et(x)\ называется разложением единицы, точнее, разложением единицы, соответствующим покрытию [U^.
Конструкцию разложения единицы можно осуществить следующим образом. Прежде всего можно указать открытые области Vlt V2, .... Vm, .... также образующие покрытие всего пространства Rn и такие, что область Vk содержится в области Uk вместе со своим замыканием Vk (k = 1, 2, . . .). Действительно, пусть области Vx, .... Vk_l уже построены так, что Vjcz Uj (у = 1, . . ., k—1) и Vu .... Vk_lt Uk, Uk+1, . . . есть локально конечное покрытие пространства Rn. Дополнение к области ViU • • . U ^fc-iU ^fc+iU - • • есть замкнутое множество Fk, которое целиком покрывается областью Uk. В качестве Vk можно взять любую из открытых областей, содержащих Fk и содержащихся в Uk вместе со своим замыканием, и т. д.
Так как множество Vk ограничено, то, в силу последнего результата п. 1, существует бесконечно дифференцируемая функция пк (х), всюду заключенная между 0 и 1, равная 1 в Vk и 0 вне Uk. Положим
оо
h (х) = 2 "к (х);
эта функция существует при всех х и заведомо не меньше 1. Теперь остается положить
очевидно, что функции ек (х) удовлетворяют поставленным требованиям.
Замечание. Пусть —разложение единицы,
соответствующее (локально конечному) покрытию {tVf} пространства Rn. Тогда для любой основной функции <?(х) мы имеем: ^
<pC*) = 2<Pi(*). с1)
где 1
?i (-«) = ? (х) «i (х)
— основная функция, равная нулю вне области Ut. При этом число слагаемых справа в (1) будет конечным, если
184 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
дополнительно предположить, что каждый шар |лг|^га пересекается лишь с конечным числом областей Отметим еще, что если функции ср„(Х) стремятся к нулю при v—> со в пространстве К, то и каждая последовательность cpvi(x) = = <pv (х) е{ (х) стремится к нулю при v —> со в пространстве К.
Это замечание использовалось в предыдущих параграфах и неоднократно будет нам полезно и в дальнейшем.
3. Локальные свойства обобщенных функций. В п. 4 § 1
мы ввели такое определение: обобщенная функция / равна нулю в окрестности данной точки, если для всякой основной функции <р, отличной от нуля только в пределах этой окрестности, имеет место равенство (/, ср) = 0.
Далее, мы говорили, что обобщенная функция / равна нулю в открытой области О, если она равна нулю в некоторой окрестности каждой точки области G. Это — типичное локальное определение.
Можно дать и иное, нелокальное определение равенства нулю обобщенной функции / в области Q: обобщенная функция / равна нулю в области G, если для любой основной функции ср, отличной от нуля только на множестве Q, содержащемся в О вместе со своим замыканием, имеет место равенство (/, ср) = 0.
Наметим доказательство эквивалентности этих определений. Достаточно проверить, что равенство нулю в смысле нелокального определения вытекает из равенства нулю в смысле локального определения (обратное очевидно). Допустим, что обобщенная функция / равна нулю в области G в смысле локального определения, и пусть ср(лг) — основная функция, отличная от нуля только на множестве Q, замыкание которого Q содержится в G. У каждой точки x?Q можно найти, по условию, окрестность U, в которой функционал / равен нулю. Без ограничения общности можно считать ее ограниченной. Совокупность этих окрестностей образует покрытие множества Q, из которого, пользуясь леммой Гейне — Бореля, мы можем выбрать счетное покрытие Uv, U2, Um, обладающее тем свойством, что каждый шар | х | <1 а пересекает лишь конечное число окрестностей 11$. Согласно замечанию в конце п. 2 функцию ср (х)
