Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
•. xnh
(3.7?
Опять дифференцируем это тождество и, продолжая этот процесс п — 2 раза, получим, наконец, тождество
dt
п-1
¦ F п_х (t, хх, х2,
хп)>
(3.7L1)
дифференцируя которое еще раз и пользуясь тождествами (3.1), будем иметь:
dnX\ г? /t \
Г n(t, Xx, X2, ..., Xn).
dtn
Итак, получены п — 1 тождеств
dx\
dt2~^2^' Xv х<1' '
dt — /і (О хх, X2.....хп),
d2xx ~
(3.7,) (3.72)
d"-lxx
dt'
JTT- — Pn-1 (O XV x2
., xn) (3.7..,)
(3.7)
и еще одно тождество
dtn —Fn(t, Xx, X2.....Xn).
(3.8)
Предположим, что в рассматриваемой области изменения переменных определитель
D (fx, F2, F3...../=¦„_,)
D(X2, х3. xt, .... jc„) ожно разрешить выразив их через переменные t, xv
фО.
Тогда систему (3.7) можно разрешить относительно х2, X3.....хп,
dx, d"-1xi
dt dtn~l
Подставив
интегрирование системы уравнений
175
найденные из системы (3.7) переменные х2, X3.....Xn в последнее
уравнение (3.8), получим уравнение «-го порядка
которому удовлетворяет функция X1V), являвшаяся по предположению функцией X1V) решения X1V), X2V).....XnV) системы (3.1).
Докажем теперь, что если взять любое решение X1 V) полученного уравнения га-го порядка (3.8:) подставить его в систему (3.7) и
определить из этой системы x2V), X3V).....XnV)' то система
функций
X1V). X2V).....XnV) (8.9)
будет решением системы (3.1).
Подставим найденную систему функций (3.9) в систему (3.7) и тем самым обратим все уравнения этой системы в тождества; в частности, получим тождество
ssZ1(Z1 X1, X2.....хп). (8.7t)
Дифференцируя это тождество по t, будем иметь
п
a2x і Of1 V Of1 dx,
dt2 ~ dt
і=I
В этом тождестве пока нельзя заменить -^p функциями ft, так как
мы еще не доказали, что полученные указанным выше путем из уравнения (3.8) и системы (3.7) функции X1, X2.....Xn удовлетворяют системе (3.1), более того, именно это утверждение и является целью нашего доказательства.
Вычитая почленно из тождества (3.10) тождество (3.72), взятое
в развернутом виде (3.7|), получим
или, в силу (3.7Х),
п
176
системы дифференциальных уравнений
[гл. 3
Совершенно аналогично, дифференцируя тождество (3.72) и вычитая (3.7з), затем дифференцируя тождества (3.73) и вычитая (3.7І) и т. д., получим:
г=2
1 = 2
Так как определитель линейной однородной системы уравнений
і = 2
OF2 ( dxi Ж
1 = 2
(=2
(3.11)
состоящей из (п—1)-го уравнения с п—1 неизвестными {-jf-—fl*j
(1 = 2, 3, .... re), совпадает с отличным от нуля функциональным определителем
D(fu Fi.....Fn-x)
D(X2, х3,
ФО,
то система (3.11) в каждой точке рассматриваемой области имеет только тривиальные решения
dxi dt
¦Z1S=O (/ = 2, 3.....ге).
Принимая во внимание еще (3.7^, получаем, что я функций JC1, X2.....Xn являются решением системы уравнений
^L = Z1(L X1. X2.....jc„) (/ = 1. 2.....я).
Замечание 1. Указанный здесь процесс исключения всех функций, кроме одной, предполагает, что
12]
интегрирование системы уравнении
177
Если это условие не выполнено, то можно применить тот же процесс, но вместо функции X1 взять какую-нибудь другую из функций х2, X3.....хп, входящих в решение системы (3.1). Если же
условие (3.12) не выполняется при любом выборе вместо X1 какой-нибудь функции из х2, X3.....хп, то возможны различные исключительные случаи, которые мы иллюстрируем следующими примерами.
Пример 4, s
^=/,(^,).
~± = /а (t, X2), ^ = /з('.х3).
Система распалась на совершенно независимые между собой уравнения, каждое из которых приходится интегрировать отдельно.
Пример 5.
Q = Mt. X1).
^W2 (,х2, X3), |^0.
= /з ('• X2, X3).
Два последних уравнения можно указанным выше методом свести к одному уравнению второго порядка, но первое уравнение, содержащее неизвестную функцию xf, не входящую в остальные уравнения, надо интегрировать отдельно.
Замечание 2. Если применить указанный выше процесс исключения всех неизвестных функций, кроме одной, к системе
п
Q- = ^au(t)X] (/=1, 2.....п),
называемой линейной однородной, то, как нетрудно проверить, уравнение га-го порядка
-^fL=O (/, ж **Lt .... ^?-? (3.S1)
dt" \ 1 dt dt"~l j 1
ТОЖЄ будет ЛИнеЙНЫМ ОДНОРОДНЫМ, Причем ЄСЛИ ВСЄ КОЭффИЦИенТЫ Cl1J
были постоянными, то и уравнение (3.8^ будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами. Аналогичное
12 Л. Э. Эльсгольц
178 системы дифференциальных уравнений [гл. 3
замечание справедливо и для линейной неоднородной системы
п
= ^ai}(t)+ (I=U 2.....п),
для которой уравнение (3.S1) будет линейным неоднородным уравнением й-го порядка.
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций
Интегрирование систем дифференциальных уравнений
dx-
^ = ft(t,xx,x2.....Xn) (/=1,2.....п) (3.1)
нередко осуществляется путем подбора так называемых интегрируемых комбинаций.
Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений (3.1), но уже легко интегрирующееся, например являющееся уравнением вида
