Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
X = X1(O и X = X2 V), X1(T0) = X2(T0) = X0,
то, взяв на каждой из них то движение, при котором точка X0 достигается в момент времени t = t0, т. е., рассматривая решения
X = X1V-I0+T0) и X = X2V-10+70),
получим противоречие с теоремой существования и единственности, так как два различных решения X1V —10 + А)) и X2V—10-\-t0) удовлетворяют одному и тому же начальному условию X V0) = X0.
Пример. Система уравнений
dx ~~dl
dy_ dt
(3.3)
имеет, как нетрудно проверить непосредственной подстановкой, следующее семейство решений:
X = C1 cos (t— с2), у = — с, sin (t — с2).
Рассматривая t как параметр, получим на фазовой плоскости х, у семейство окружностей с центром в начале координат (рис. 3.1). Пра- рис 3J-
вая часть системы (3.3) не зависит от t и удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, поэтому траектории не пересекаются. Фиксируя C1, получим определенную траекторию, причем различным C2 будут соответствовать различные движения по этой траектории. Уравнение траектории X2 -f У2 = с2 не зависит от C2, так что все движения при фиксированном C1 совершаются по одной и той же траектории. При C1=O фазовая траектория состоит из одной точки, называемой в этом случае точкой покоя системы (3.3).
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка
Один из основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений системы (3.1) и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные функции, кроме одной, для определения которой получают одно дифференциальное уравнение более высокого порядка. Интегрируя это уравнение более высокого порядка, находят одну из неизвестных функций, а остальные неизвестные функции, по возможности без интеграции, определяются из исходных уравнений и уравнений, получившихся в результате их дифференцирования.
179 системы дифференциальных уравнении [гл. 3
dt2 ~2~dt~~dT' (а5)
Из уравнений (3.42) и (3.5) определяем х и -^-:
о7
-*=4(4г + >)- (аб)
_ 1 [d2y . rfy\ 2 l dt2 "т <tt J'
Подставляя в (3.4,), получим
^!>L_2^ + y = 0
л2 ? dt +
Интегрируем полученное линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами у== е'(с, -f- c2t) и, подставляя в (3.6), находим х{1):
X = <2с1 + с2 + 2с20-
Пример 3.
//2 г ИІМ
Иллюстрируем сказанное примерами. П р и м е р 1.
dx dy
d2x rfv
Дифференцируем одно из уравнений, например первое. -^- — и, исключу d2x чая -~ с помощью второго уравнения, получим --х = 0, откуда
X — с,е' -f- с2е-'. Используя первое уравнение, получаем у = -^- = cte'—с2е~*.
Мы определили у без интеграции с помощью первого уравнения. Если бы мы определили у из второго уравнения
-^r = X = с,е* + с2е~К у = с,е' — с2<?-' -f- С3<
то ввели бы лишние решения, так как непосредственная подстановка в исходную систему уравнений показывает, что системе удовлетворяют функции X = с,*?' -f- с2е-', у = С\Є1 — c2e~' + ca не при произвольном с3, а лишь при C3 = 0.
Пример 2.
4f = 3x-2y, (3.4,)
-^f = 2x-y. (3.42)
Дифференцируем второе уравнение:
d2y
$ 2) интегрирование системы уравнений 173
—Jf —/2 х2.....Хп)<
~Jf~ JnV' XV х2' ¦¦•» хп)'
(3.1)
удовлетворяет некоторому уравнению re-го порядка, при этом мы предположим, что все функции fi имеют непрерывные частные производные до (п — 1)-го порядка включительно по всем аргументам.
Подставив в систему (3.1) некоторое решение X1V)' xiV).....хп(*)>
обратим все уравнения системы в тождества. В частности, в тождество обратится и первое уравнение системы
d,X\ _f {4- \
~Jf = JiV' Xv *2' "" х"''
Продифференцируем это тождество по t:
Cl2X1 Of1 V Of1 dxt
OXi
dt2 ~~ dt ^ *U OX1 dt или
и, обозначив правую часть последнего тождества F2 (t, X1, х2.....хп),
получим:
—JjT ==-F%V' xi' х2.....хп)' (3.7?
Дифференцируя первое уравнение, получим -~- = ^ , и, подставляя во
d*x
второе уравнение, будем иметь ~jf~x- Интегрируя это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами, получим
je = cxel А- с2е~( -\- C3 cos t -\- C4 sin t, и, подставляя в первое уравнение, находим
у = с{е' -4- с2е~* — C3 cos t — C4 sin t.
Опишем теперь более точно процесс исключения из системы уравнений всех неизвестных функций, кроме одной.
Покажем вначале, что одна из неизвестных функций, например
X1V), входящая в состав решения X1V), X2V).....хп(0 системы
дифференциальных уравнений:
dX\ ?/4- \
—Jf— JlV' х1< х2' ••'< Хп>'
174 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Снова дифференцируем это тождество: d3xi dF2
[гл. з
или
dt*
d3xx dt3
dt
6F2
SdF1 dXj
OF2 dxi ~dT'
i=\
dt
-j dx, Jl'
и, обозначив правую часть последнего тождества F3(t, хх, х2, получим:
dlxx _ „
—-' з\г> xl< x2> •••• xn>-
(3.73a)
