Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
x(U р. Po, Pi) = X0 (О + X11 (О P0 + X12 V)Q1+ хи (/)n-f ... (2.133)
Подставляя (2.133) в уравнение (2.107) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, Po и P1, получим для определения X11 и X12 следующие уравнения:
X11^a2X11=O, X11(O) = I, X11(O) = O1 ,
ПОНЯТИЕ о КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
159
§ 9. Понятие о краевых задачах
Как уже упоминалось во введении, наряду с основной начальной задачей часто приходится решать так называемые краевые или граничные задачи. В этих задачах значение искомой функции задается не в одной, а в двух точках, ограничивающих отрезок, на котором требуется определить решение. Например, в задаче о движении материальной точки массы т под действием заданной силы А В F (t, г, г) часто требуется найти риС 2,3. закон движения, если в начальный момент t = t0 точка находилась в положении, характеризуемом радиусом-вектором г0, а в момент t = tx должна попасть в точку T = T1.
Задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения движения
т-^ = ? ((, г, г)
с краевыми условиями r(r0) = r0; г U1) = T1.
Заметим, что эта задача имеет, вообще говоря, не единственное решение; если речь идет о баллистической задаче и о точках земной поверхности, то в одну и ту же точку тело может попасть по навесной и по настильной траектории (рис. 2.3), более того, при очень больших начальных скоростях можно попасть в ту же точку и после однократного или многократного облета земного шара.
Аналогичную краевую задачу можно поставить и для луча света, проходящую через преломляющую среду: найти направление, по которому луч света должен выйти из точки А, чтобы он попал в другую заданную точку В.
При этом очевидно, что задача не всегда имеет решение, а если решения существуют, то их может быть несколько и даже бесконечное множество (например, если лучи, выходящие из точки А, фокусируются в точке В).
Если удается найти общее решение дифференциального уравнения краевой задачи, то для решения этой задачи надо определить произвольные постоянные, содержащиеся в общем решении, из граничных условий. При этом, конечно, далеко не всегда существует действительное решение, а если существует, то оно не обязательно единственно.
В качестве примера возникающих здесь возможностей рассмотрим следующую краевую задачу:
160 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО Г ГЛ. 2
Найти решение уравнения
у"-|-у = 0, (2.135)
удовлетворяющее условиям: у (0) = 0, у(х,) = У1. Общее решение уравнения (2.135) имеет вид
у = C1 cos X A- C2 sin х.
Первое граничное условие удовлетворяется при C1=O, при этом у = C2 sin X.
Если X1 ф пл, где п — целое число, то из второго граничного условия находим J)1 = C2SInX1, C2 = —+'—. Следовательно, в этом
Sin Х\
случае существует единственное решение краевой задачи
Vi
у = -. - ¦ sin X. J sin X1
Если же X1 = Hn и 3"j = 0, то все кривые пучка у = C2 sin х являются графиками решений краевой задачи.
При X1 = пл, ух ф 0 решений краевой задачи не существует, так как ни одна кривая пучка у = C2 sin х не проходит через точку (X1, ух), где
X1 = пл, ух ф 0.
Рассмотрим несколько подробнее краевые задачи для линейных уравнений второго порядка
y" + Pi(x)y' + p2(x)y = (f(x), (2.136)
y(xQ) = y0, у (Xj) = у,, (2.137) Линейной заменой переменных
z = y— yx~yJ (х-х0)-Уо
х\ — X0
краевые условия (2.137) сводятся к нулевым условиям z(x0) = = z (Xx) = 0, причем линейность уравнения (2.136) не нарушается.
Умножением на ej Pl<-X)dx ЛИНейное уравнение (2.136) приводится к виду
-^-(P(x)y') + q(x)y = f(x), (2.138)
где р(х) = е . Поэтому без существенного ограничения
общности можно заменить изучение краевой задачи (2. і 36), (2.137) изучением краевой задачи для уравнения (2.138) с граничными условиями
У (X0) = У Ui) = O. (2.139)
ПОНЯТИЕ о КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ
161
Вначале рассмотрим краевую задачу (2.138), (2.139), причем / (х) является локализованной в точке x = s функцией с единичным импульсом. Точнее, рассмотрим уравнение
-J7 (P (X) у') + q(x)y=f& (х, s) (2.140)
с граничными условиями у(х0) = у(X1) = 0, где функция fe(x, S) равна нулю на всем отрезке [х0, X1], за исключением є-окрестности точки X = S, s — є<х<5-)-?> причем
s+e
J* Д(х, S) dx = 1.
S-E
Обозначим Ое(х, s) непрерывное решение этой краевой задачи и перейдем к пределу при є->0:
HmGg(X, s) = G(x, s). (2.141)
є-*о
Нетрудно было бы доказать существование этого предела, не зависящего от выбора функции / (х, s), однако в этом нет необходимости, так как пока наши рассуждения носят эвристический характер, и на стр. 162 будет дано точное определение функции 0(х, s).
Функция G(x, s) называется функцией влияния или функцией Грина рассматриваемой краевой задачи. Так же как на стр. 122—124, решение краевой задачи (2.138), (2.139) с непрерывной правой частью в (2.138) можно рассматривать как суперпозицию решений краевых задач, соответствующих локализованным в точке функциям с импульсами f (S1)As, где S1—точки деления отрезка [х0, X1] на т
