Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
равных частей, As= ~ Х°¦• Точнее, приближенное решение краевой задачи (2.138), (2.139) равно интегральной сумме
пг
2 G(x, S1)Z(S1)As, а предел этой суммы при т -> оо: _
у (X) = j G(x. s)f(s)ds (2.142)
является решением рассматриваемой краевой задачи (2.138), (2.139).
Физический смысл функции влияния 0(х, s) и решения (2.142) станет еще яснее, если в уравнении (2.140) рассматривать у(х) как смещение некоторой системы под влиянием непрерывно распределенной на отрезке [х0, X1] силы f (х) (например, отклонение струны от положения равновесия под влиянием распределенной нагрузки
11 Л. Э. Эльсгольц
162 уравнения порядка выше первого [гл. 2
[G' (s +0, s) — G'(s — О, S)]:
P(S)
Все наши рассуждения о функции Грина носили эвристический характер. Придадим теперь им необходимую точность.
Определение. Функцией Грина G(x,s) краевой задачи (2.138), (2.139) называется функция, удовлетворяющая указанным выше условиям 1), 2), 3), 4).
Непосредственней подстановкой в уравнение (2.138) проверяем, что
у (je) = J G(x, s)f(s)ds (2.142)
Xo
с плотностью /(х)). При этом 0(х, s) описывает смещение, вызываемое единичной сосредоточенной силой, приложенной к точке X = S1 а решение (2.142) рассматривается как предел суммы решений, соответствующих сосредоточенным силам.
Функция Грина обладает следующими свойствами, вытекающими из ее определения (2.141):
1. G(x, s) непрерывна по х при фиксированном s при X0 ^x X1,
Х0<С S <!. XV
2. G(x, s) является решением соответствующего однородного уравнения
(P (X) у') +q (X) у = 0
на всем отрезке [х0, X1], за исключением точки x = s (так как вне этой точки в случае локализованной в точке x = s функции правая часть равна нулю).
3. 0(х, s) удовлетворяет граничным условиям:
G(x0, S) = O(X1, s) = 0.
4. В точке x = s производная Ox (х, s) должна иметь разрыв
первого рода со скачком ^ ¦. Действительно, ожидать разрыва
следует лишь в точке локализации функции—в точке x = s. Умножая тождество
±-Гр{х)0'г{х, в)) +q{X) Ол{х. S)=SfAx. S)
на dx и интегрируя в пределах от s — є до s -j- є, получим
S+E
p(x)Gz(x, s) + I q(x)GE(x, s)dx=\
s— е J
S-E
и, переходя к пределу при е-»0, будем иметь
1
§ 9] ПОНЯТИЕ о КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ 163
11*
является решением этого уравнения (краевые условия (2.139), очевидно, удовлетворяются в силу свойства 3)). Действительно,
Jf1 X X1
у' (x) = f 0'х(х, S)/(s)ds = f 0'х(х, s)/(s)ds + f 0'х(х, s)f(s)ds;
Xq Xq X
X
f (x) = j G"xx (х, s) f (s) ds + Gx (х, x — 0) / (x) + х,
-f f Gxx(x, s) f (s)ds — G'x(x, X+ 0)/(X)*=
X
x,
= f' G"XK(x, s) / (s) ds + [Gx (x + 0, X) —О.; (х-0, x)]/(x).
Xn
Подставляя (2.142) в уравнение (2.138), получим J [p(x)Gxx(x, s)+ р (x)G'x(x, s)+ q (х) G(x, s)] dx +
X0
+ p(x)[G'x(x + 0, x) — O\x — 0, x)\f (x)==f(x)
в силу условий 2) и 4).
Рассмотрим метод построения функции Грина, из которого получим также достаточное условие ее существования.
Рассмотрим решение у, (х) уравнения
(P (X) у')+-q (X) у = 0, (2.143)
определяемое начальными условиями
Это решение, вообще говоря, не удовлетворяет второму граничному условию у (X1) = 0. Случай yj (х0) = yj (X1) = 0 является исключительным, и мы его здесь рассматривать не будем.
Очевидно, что решения C^y1 (х), где C1 — произвольная постоянная, также удовлетворяют граничному условию у(х0) = 0. Аналогично находим нетривиальное решение у2(х) уравнения (2.143), удовлетворяющее второму граничному условию ys(x{) = Q', этому же услввию удовлетворяют все решения семейства с2у2 (х), где C2 — произвольная постоянная.
164 уравнения порядка выше первого ігл. 3
Функцию Грина ищем в виде
СіУі (х) при Jf0 < X < S,
G(x, s) = \ , ч . .
«2^W При 5 < X < JlT1,
причем постоянные C1 и C2 выбираем так, чтобы были выполнены условия 1) и 4), т. е. чтобы функция G(x, s) была непрерывна по х при фиксированном s, и в частности непрерывна в точке х = s:
CiVi(S) — с2у2 (S), (2.144)
и чтобы Gx(X, s) в точке Jf = S имела скачок —гт-: *v ' р (S)
C2V2(S)-C1V1(S) = -—. (2.145)
В силу предположения, что V1(X1) ф 0, решения Vl(X) И Vi(X) линейно независимы, так как все линейно зависимые от V1(X) решения имеют вид ^y1 (jf) и, следовательно, при C1 ф 0 не обращаются в нуль в точке Jf1, в которой обращается в нуль решение у2 іх). Следовательно, определитель системы (2.144) и (2.145), являющийся определителем Вронского: W (V1 (х), у2 (х)) = W(х) в точке х = s, отличен от нуля и постоянные C1 и C2, удовлетворяющие системе (2.144) и (2.145), легко определяются:
_ Уг (S) Уі (Jf) _ Уі (S) Уї (X)
Cl— W(S)P(S) • c2— W(S)P(S) '
откуда
Уг (S) Уї (X) . .
W(S)P(S) "Ри -*o<*<s. 0(х. s)H Wis)p{s) (2.146)
при s < X X1.
Уї (S) У; (X) W (S) р (S)
Пример. Найти функцию Грина краевой задачи
у" (X) + у (х) = /(х), у(0) = 0, y(f)=°-
Решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющие условиям у (0) = 0 и у j *¦ 0, соответственно имеют вид ух = C1 sin л и у2 = C2 cos х, следовательно, согласно (2,146)
