Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 61

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 131 >> Следующая


Однако можно и непосредственно найти фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.

Будем искать решения системы

dXj _ її

dt — а\\Х\ ~Г а\2х2 ~Г

dx2 _

~~dt~ — ^21^1 i а2Чх2 г

dxn dt

~t~ a2nxn<

an\X\ + an2X2 + • • • + annxn'

(3.25)

где все atj постоянны, в виде

с постоянными uj (J=I, 2.....я). Подставляя в систему (3,25),

сокращая на еы и перенося все члены в одну часть равенства, получим

(аи — k) Ci1 ¦+¦ а12а2 -4-...-4- аиа„ = О,

A21O1 -г- (а22 — k) а2 + • • • + а2пап = 0.

¦а„ек

aniai + ?«2«2 + ••¦ + (ann—k)an = 0.

(3.26)

Для того чтобы эта система я линейных однородных уравнений с я неизвестными а і (j=\, 2, .... я) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (3.26) был равен нулю:

*22"

а„

*2п

аап - k

= 0.

(3.27)

13 Л. Э. Эльсгольц

или в векторной форме

194

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

ГГЛ. 3

Из этого уравнения степени я определяются значения k, при которых

система (3.26) имеет нетривиальные решения (у = 1, 2.....я).

Уравнение (3.27) называется характеристическим. Если все корни характеристического уравнения kt (/ = 1, 2, ..., п) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3.26), определяем соответствующие им нетривиальные значения аФ (/, у=1, 2.....я) и, следовательно, находим я решений исходной системы (3.25) в виде

4'> = a(/W,

it) ii) k.t х\' = а„е 1

(/=1, 2.....я),

(3.28)

где верхний индекс указывает номер решения, а нижний индекс — номер неизвестной функции.

Пользуясь векторными обозначениями, получим тот же результат еще короче:

dX

dt

= АХ;

(3.2O1)

ищем решение в виде

X = Ke"', где A =

Akekt = AAekt,

или

(Л — ??) A = O, где E — единичная матрица:

1 0 0 ... 0

E

(3.29)

0 1 0 ... 0 0 0 0 ... 1

Для того чтобы уравнению (3.29) удовлетворяла нетривиальная матрица А

0

A^=

0

0

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

195

необходимо и достаточно, чтобы матрица А — kE была бы особой, т. е. чтобы ее определитель был равен нулю: \A — kE\=0. Для каждого корня kt этого характеристического уравнения \А—kE\ =0 из (3.29) определяем не равную нулю матрицу A(i) и, если все корни kt характеристического уравнения различны, получаем п решений:

где

А"1 =

а</>

а<;>

An = A1V»'.

Эти решения, как нетрудно показать, линейно независимы. Действительно, если бы существовала линейная зависимость

или в развернутой форме

2 P^1V''== о.

(3.30)

то. в силу линейной независимости функций е"1' (/==1, 2, .... я) (см стр. 96), из (3.30) следовало бы, что

?(< = 0,

р^' = о.

(/ = 1, 2.....я).

(3.31)

Но так как при каждом /, хотя бы одно из а<г), а[1\ .... а^і

(/=1, 2.....п) отлично от нуля, то из (3.31) следует, что Р/ = 0

(/ = 1, 2.....я).

13*

196

системы дифференциальных уравнении

[гл. 3

Итак, решения A<()eft'' (/=1, 2.....я) линейно независимы

и общее решение системы (3.25) имеет вид

? = 1

ИЛИ

п

X1= 2 c,a(,V<' (У = 1, 2.....я),

где C1 — произвольные постоянные.

Постоянные Ct^ (7=1,2.....я) определяются из системы (3.26)

при k = kl неоднозначно, так как определитель системы равен нулю и, следовательно, по крайней мере одно уравнение является следствием остальных. Неоднозначность определения аФ связана с тем, что решение системы линейных однородных уравнений остается решением той же системы при умножении на произвольный постоянный множитель.

Комплексному корню характеристического уравнения (3.27) kj = р -f- qi соответствует решение

X1

¦.A1W

(3.32)

которое, если все коэффициенты йц действительны, может быть заменено двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями решения (3.32) (см. стр. 184). Комплексный сопряженный корень характеристического уравнения kj + l = р — qi не даст новых линейно независимых действительных решений.

Если характеристическое уравнение имеет кратный корень ks кратности Y- то, принимая во внимание, что систему уравнений (3.25) можно свести процессом, указанным на стр. 173, к одному линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами я-го или более низкого порядка (см. замечания на стр. 177), можно утверждать, что решение системы (3.25) имеет вид

где

X if)=(аг+т + ... + A<;v-

AV

и2/

(3.33)

0V*/' — постоянные.

§ 5] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 197

X (Y) = (А</> + А<*>* + ... + AfI/-1) е»

л

Пример 1.

где ? — наибольшая степень элементарного делителя матрицы \\А — кЕ\\ соответствующего корню ks.

Характеристическое уравнение \ — k 2

= 0 или 62 — Ak — 5 = О

4 3 — k

имеет корни k} =5, k2 — — 1. Следовательно, решение ищем в виде

х. = O1V1 у, = a<V,

(3.34)

X2 = а\\ ', у2 = O22V

Подставляя (3.34) в исходную систему, получим: —4(4^ + 2(4^=0, откуда Ci21' = 2а^; остается произвольным. Следовательно,

X1 = c/f, Уі=2с/\ c1 = ^H

Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed