Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Однако можно и непосредственно найти фундаментальную систему решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
Будем искать решения системы
dXj _ її
dt — а\\Х\ ~Г а\2х2 ~Г
dx2 _
~~dt~ — ^21^1 i а2Чх2 г
dxn dt
~t~ a2nxn<
an\X\ + an2X2 + • • • + annxn'
(3.25)
где все atj постоянны, в виде
с постоянными uj (J=I, 2.....я). Подставляя в систему (3,25),
сокращая на еы и перенося все члены в одну часть равенства, получим
(аи — k) Ci1 ¦+¦ а12а2 -4-...-4- аиа„ = О,
A21O1 -г- (а22 — k) а2 + • • • + а2пап = 0.
¦а„ек
aniai + ?«2«2 + ••¦ + (ann—k)an = 0.
(3.26)
Для того чтобы эта система я линейных однородных уравнений с я неизвестными а і (j=\, 2, .... я) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (3.26) был равен нулю:
*22"
а„
*2п
аап - k
= 0.
(3.27)
13 Л. Э. Эльсгольц
или в векторной форме
194
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ГГЛ. 3
Из этого уравнения степени я определяются значения k, при которых
система (3.26) имеет нетривиальные решения (у = 1, 2.....я).
Уравнение (3.27) называется характеристическим. Если все корни характеристического уравнения kt (/ = 1, 2, ..., п) различны, то, подставляя их по очереди в систему (3.26), определяем соответствующие им нетривиальные значения аФ (/, у=1, 2.....я) и, следовательно, находим я решений исходной системы (3.25) в виде
4'> = a(/W,
it) ii) k.t х\' = а„е 1
(/=1, 2.....я),
(3.28)
где верхний индекс указывает номер решения, а нижний индекс — номер неизвестной функции.
Пользуясь векторными обозначениями, получим тот же результат еще короче:
dX
dt
= АХ;
(3.2O1)
ищем решение в виде
X = Ke"', где A =
Akekt = AAekt,
или
(Л — ??) A = O, где E — единичная матрица:
1 0 0 ... 0
E
(3.29)
0 1 0 ... 0 0 0 0 ... 1
Для того чтобы уравнению (3.29) удовлетворяла нетривиальная матрица А
0
A^=
0
0
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
195
необходимо и достаточно, чтобы матрица А — kE была бы особой, т. е. чтобы ее определитель был равен нулю: \A — kE\=0. Для каждого корня kt этого характеристического уравнения \А—kE\ =0 из (3.29) определяем не равную нулю матрицу A(i) и, если все корни kt характеристического уравнения различны, получаем п решений:
где
А"1 =
а</>
а<;>
An = A1V»'.
Эти решения, как нетрудно показать, линейно независимы. Действительно, если бы существовала линейная зависимость
или в развернутой форме
2 P^1V''== о.
(3.30)
то. в силу линейной независимости функций е"1' (/==1, 2, .... я) (см стр. 96), из (3.30) следовало бы, что
?(< = 0,
р^' = о.
(/ = 1, 2.....я).
(3.31)
Но так как при каждом /, хотя бы одно из а<г), а[1\ .... а^і
(/=1, 2.....п) отлично от нуля, то из (3.31) следует, что Р/ = 0
(/ = 1, 2.....я).
13*
196
системы дифференциальных уравнении
[гл. 3
Итак, решения A<()eft'' (/=1, 2.....я) линейно независимы
и общее решение системы (3.25) имеет вид
? = 1
ИЛИ
п
X1= 2 c,a(,V<' (У = 1, 2.....я),
где C1 — произвольные постоянные.
Постоянные Ct^ (7=1,2.....я) определяются из системы (3.26)
при k = kl неоднозначно, так как определитель системы равен нулю и, следовательно, по крайней мере одно уравнение является следствием остальных. Неоднозначность определения аФ связана с тем, что решение системы линейных однородных уравнений остается решением той же системы при умножении на произвольный постоянный множитель.
Комплексному корню характеристического уравнения (3.27) kj = р -f- qi соответствует решение
X1
¦.A1W
(3.32)
которое, если все коэффициенты йц действительны, может быть заменено двумя действительными решениями: действительной и мнимой частями решения (3.32) (см. стр. 184). Комплексный сопряженный корень характеристического уравнения kj + l = р — qi не даст новых линейно независимых действительных решений.
Если характеристическое уравнение имеет кратный корень ks кратности Y- то, принимая во внимание, что систему уравнений (3.25) можно свести процессом, указанным на стр. 173, к одному линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами я-го или более низкого порядка (см. замечания на стр. 177), можно утверждать, что решение системы (3.25) имеет вид
где
X if)=(аг+т + ... + A<;v-
AV
и2/
(3.33)
0V*/' — постоянные.
§ 5] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ 197
X (Y) = (А</> + А<*>* + ... + AfI/-1) е»
л
Пример 1.
где ? — наибольшая степень элементарного делителя матрицы \\А — кЕ\\ соответствующего корню ks.
Характеристическое уравнение \ — k 2
= 0 или 62 — Ak — 5 = О
4 3 — k
имеет корни k} =5, k2 — — 1. Следовательно, решение ищем в виде
х. = O1V1 у, = a<V,
(3.34)
X2 = а\\ ', у2 = O22V
Подставляя (3.34) в исходную систему, получим: —4(4^ + 2(4^=0, откуда Ci21' = 2а^; остается произвольным. Следовательно,
X1 = c/f, Уі=2с/\ c1 = ^H