Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
й?Ф(/, хх, X2.....Xn) = О
или уравнением, сводящимся заменой переменных к какому-нибудь интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.
Пример 1.
dx __ dy _ dt ~у- dt ~х-
Складывая почленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию
d(x + y) . d(x+y) ..
— ' = X + у или —і—,' " = dt, dt ' J x-\-y
откуда
In |x-f- у I = t-\- In Ci, x-\-y = cxel.
Почленно вычитая из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию
dix — y) . . d(x — y)
—v " = — (х — у) или —--— = — dt,
dt " х — у
In I Jf — у I = — г-fin C2, х — у = с2е~'.
Итак, найдено два конечных уравнения:
X-^y = CxB1 и х—у = с2е~1,
из которых может быть определено решение исходной системы
х= — (схе'-\-с2е~'), у = ~(схе' — сге~')
am _ _ _
x = clet-\-72e~t, у = схе1 — сге~к
§.3]
НАХОЖДЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМЫХ КОМБИНАЦИЙ
179
Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно конечное уравнение
ФіС X1, X2.....Xn) = C1,
связывающее неизвестные функции и независимое переменное; такое конечное уравнение называется первым интегралом системы (3.1). Итак, первым интегралом
ФУ, X1, X2.....Xn) = с (3.13)
системы уравнений (3.1) называется конечное уравнение, обращающееся в тождество при некотором значении с, если вместо X1 (t)
(1=1, 2.....п) подставлено решение системы (3.1).
Часто первым интегралом называют также левую часть
Ф(г, X1, X2..... Xn) уравнения (3.13), и тогда первый интеграл
определяется как функция, не равная тождественно постоянной, но сохраняющая постоянное значение вдоль интегральных кривых системы (1).
Геометрически первый интеграл Ф(Л xv X2.....Xn) = с при
фиксированном с можно интерпретировать как «-мерную поверхность
в (п -|- 1)-мерном пространстве с координатами t, X1, X2.....хп,
обладающую тем свойством, что каждая интегральная кривая, имеющая общую точку с этой поверхностью, целиком лежит на поверхности. При переменном с получаем семейство непересекающихся поверхностей, обладающих тем же свойством, т. е. состоящих из точек некоторого (п — 1)-параметрического семейства интегральных кривых системы (3.1).
Если найдено k интегрируемых комбинаций, то получаем k первых интегралов:
Фі (t, X1, X2.....Xn) = C1,
Ф2 (t, X1, X2.....Xn) = C2,
ФкУ, X1, X2.....Xn) = с к.
(3.14)
Если все эти интегралы независимы, т. е. если хотя бы один определитель
?>(Фі.Фг.....Фц) »п
где Xj1, Xj2, .... Xjk—какие-нибудь k функций из Jf1, Jf2.....Jf„,
то из системы (3.14) можно выразить k неизвестных функций через остальные и, подставляя в систему (3.1), свести задачу к интегрированию системы уравнений с меньшим числом неизвестных. Если А = га и все интегралы независимы, то все неизвестные функции определяются из системы (3.14).
180
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[гл. Э
Пример 2.
dx dy dz
Сложив почленно уравнения этой системы, получим
dx , dy , dz d , , . . .
откуда
X + у + Z = C1.
Найденный первый интеграл позволяет выразить одну из неизвестных функций через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегрированию системы двух уравнений с двумя неизвестными функциями. Однако в данном случае легко можно найти еще один первый интеграл. Умножим первое уравнение почленно на х, второе на у, третье на z и сложим:
dx , dy , dz „ хЧГ + уЧГ + г1й = 0'
или, умножив на 2, получим
-^-(*2 + У2 + *2) = 0.
откуда
X2 + У2 Л-г2 = с2.
Из двух найденных первых интегралов можно выразить две неизвестные функции через остальные переменные и тем самым свести задачу к интегри-і рованию одного уравнения с одной неизвестной функцией. Пример 3.
А^=(В-С)ог. B^- = (C-A)rp. C~ = (A-B)pq.
где А, В и С — постоянные (эта система встречается в теории движения твердого тела). Умножая первое уравнение на р, второе на q. третье на г и складывая, получим
откуда находим первый интеграл
Ap2 -\- Bq2 Ar Cr2 = с,.
Умножая первое уравнение на Ар, второе на Bq, третье на Cr и складывая, будем иметь
и, интегрируя, получим еще один первый интеграл
А2р2 Ar B2q2 Ar C2r2 = с2.
Если исключить случай A = B = C при котором система интегрируется непосредственно, то^найденные первые интегралы независимы и, следовательно, пользуясь этими 'первыми интегралами, можно исключить две неизвестные
f 47 chgtemh линейных дифференциальных уравнений 181
(3.15)
(3.16)
ф„ (t, Jf1. X2.....Xn) ф„ (tf, Jf1, Jf2.....Xn)
где
ф. It, Jf1, х„, ..., X ) *«)=>0(, X1. X1.....хп) С=1-2»)¦
В системе, заданной в симметрической форме, переменные входят равноправно, что иногда облегчает нахождение интегрируемых комбинаций.
Пример 4.
dx _ dy _ dz X2 — у2 — z2 ~~ 2ху ~ 2xz ' Интегрируя уравнение
dy _ dz 2ху ~~ 2xz '
у
находим у/ = ci- Умножая числители и знаменатели первого из отношений
системы (3.16) на Jf, второго на у, третьего на г и составляя производную пропорцию, получим
