Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
— cos s sin X при 0 < X < s,
— sin s cos X при 's < X < у
Замечание. Мы предположили (стр. 163), что не существует нетривиального решения у(х) однородного уравнения (2.143), удовлетворяющего нулевым граничным условиям у (х0) = у (,X1) — 0. Это условие гарантирует не только существование и единственность краевой задачи (2.138), (2.139), но и единственность функции Грина.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 2 165
Действительно, если допустить существование двух различных функций Грина O1(X1 s) и G2(x, s) для краевой задачи (2.138), (2.139), то получим два различных решения этой задачи:
У і (X) = f G1(X, s)/(s)ds
X1.
И
х,
у2(х) = J 0.2(х, s)/(s)ds,
разность которых
J[O1(X1S)-O2(X1S)]Z(S)UfS,
К:
вопреки предположению, будет нетривиальным решением соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющим нулевым граничным условиям.
Задачи к главе 2
1. у" — 6у' + Юу = 100, причем а пл. х2\ v" л. і v'v л.\ - о при X = 0 у — 10, у' S= 5. ». (I + х ) у + (у ) ¦+ і - и.
л/2 у
2. X -f- X = sin / — cos 2t. 10. Xі —+ + 1 = 0.
3. у'у'" — 3(у")' = 0. dt
4.y» + y = _J_ П. ylV-16y = x2_e*
y ^ y sin3 X 5. x>y* - 4xy' + Oy = 2. »2- (У'У + (УУ = 1.
& у" + у vhx' n ufL_U?._i
7. y" + y-f— (y')2 = 0. A6 <«4
15. у" + 4xy = 0; проинтегрировать с помощью степенных рядов
16. х2у" 4/ ху' -f- ^9х2 — у = 0; проинтегрировать путем сведения
к уравнению Бесселя.
17 у* + <у')2 = 1, у (0) = 0. у' (0)=1.
18. у" = 3 /у, у (0) = 1. у' (0) — 2. rf/-2 1 г dr
21. Найти скорость, с которой тело упадет на поверхность Земли, если считать, что оно падает с бесконечно большой высоты и движение проис-
166 УРАВНЕНИЯ ПОРЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО [ГЛ. 2
ходит только под влиянием притяжения Земли. Радиус Земли считать равным 6400 км.
22. Найти закон движения тела, падающего без начальной скорости, допуская, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и что скорость имеет своим пределом при г->оэ величину 75 м/сек.
23. Цепь длиной 6 м соскальзывает со стола. В момент начала движения со стола свисал 1 м цепи. Во сколько времени со стола соскользнет вся цепь. (Трением пренебрегаем.)
24. Цепь переброшена через гладкий гвоздь. В момент начала движения с одной стороны свисает 8 м цепи, а с другой стороны 10 м цепи. Во сколько времени вся цепь соскользнет с гвоздя? (Трением пренебрегаем.)
25. Поезд движется по горизонтальному пути. Вес поезда Р, сила тяги паровоза F, сила сопротивления при движении W = а -(- bv, где а и b — постоянные, а у — скорость поезда; s — пройденный путь. Определить закон движения поезда, считая, что при i = 0 S = O и f = 0.
26. Груз в р кг подвешен на пружине и оттянул ее на а см. Затем пружина оттягивается еще на А см и отпускается без начальной скорости. Найти закон движения пружины, пренебрегая сопротивлением среды.
27. Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Найти закон движения одного из грузов, если другой оборвется. Дано, что удлинение пружины под влиянием одного из грузов равно а см.
28. Материальная точка массы т отталкивается от центра О с силой, пропорциональной расстоянию. Сопротивление среды пропорционально скорости движения. Найти закон движения.
29. Найти периодическое решение с периодом 2л уравнения
x + 2x = f(t),
где функция / (t) = лЧ — P при — л < t <; л и далее продолжена периодически.
ол » . / ,42 УУ' 33. У" + 2у' + У = sh х.
у\ + X2 34. у"' — у = ех.
31. yy'y" = (y')3 + (у")2- 35. у" — 2у' + 2у = хе* cos х.
32. X + 9х = / sin 3t.
36. (х2 — 1) у" — 6у = 1. Частное решение соответствующего однородного уравнения имеет вид многочлена.
37. Найти решение и = и (х2 -\- у2) уравнения
д2и . д2и _-
Jx2+Ty2
зависящее лишь от хг -\- у2.
38. Найти решение и = и (х2 + У2 + z2) уравнения
д'и . дги . д2и дх2 + ду2 + dz2 ~ '
являющееся функцией X2 -\- у2 + Z2.
39. Материальная точка медленно погружается в жидкость. Найти закон движения, считая, что при медленном погружении сопротивление жидкости пропорционально скорости погружения.
задачи к главе 2 167
х-+2х + 2х = 2^
л=1
45. Определить периодическое решение уравнения
X -f- а\х + й2х = / (г),
где «і и #2 — постоянные, а / (/) — непрерывная периодическая функция периода 2я, разлагающаяся в ряд Фурье, й, Ф 0 и й2 ?= 0.
46. X-f- Зх == cos t + цх2, ц.— малый параметр. Приближенно определить периодическое решение.
47. х3у" — ху' + у = 0; проинтегрировать уравнение, если у, = х является частным решением.
48. Найти линейное однородное уравнение, имеющее следующую фундаментальную систему решений: Уі=х, у2 = —.
49. xiv + x = Л 55. 6y"ylV _ 5 (y'"f = 0.
50.х = (у?+у" + 1 56. ху" = у'In-*!
51. X + 10х + 25х = 2' + te-5'. X
52. хуу" — X (y'f — уу' = 0. 57. у" + у = sin Зх cos х.
53. yVi _ у = е2*. 58- У" = 2У3. У (1) = 1, У' (1) = 1.
54. yVi + 2уIV + у" = X + 59. уу" — (y')2 = у'-
40. Проинтегрировать уравнение движения mx = f(t, х, х). считая, что правая часть является функцией только х или только х:
