Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
X dx -f- у dy -f- z dz _ dy
X (X2 + у2 + г2) ~ ~2ху '
откуда
1п(лг2 + у2 + г2) = 1п|у| + 1пс2, ,
или
x2 + y2 + z2
у- =
Найденные независимые первые интегралы
Z = Cl и ?І+УІ±?І = С2
z "У
определяют искомые интегральные кривые.
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно всех неизвестных функций и их производных. Система п линейных уравнений первого порядка, записанная
функции, причем для определения третьей функции получим одно уравнение с разделяющимися переменными.
Для нахождения интегрируемых комбинаций часто удобно переходить к так называемой симметрической форме записи системы уравнений (3.1):
dxi _ dx2 _
Фі (t. X1, X2.....Xn) ~~ ф2 (t, X1, X2.....Xn) -
dxn dl
182 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 3
dx dt
= AX + F,
(3.18)
где X есть я-мерный вектор с координатами Xx (О- x2(t), Xn(г),
F есть я-мерный вектор с координатами Z1(O- fi(t)...../«(О-
которые удобно в дальнейшем рассматривать как одностолбцовые матрицы:
Xx
/і
X2
/2
X =
, F =
Xn
аХ2 ..
• а\п
dx2
Л =
• а1п
dx
dt
dt
«ЛІ
<*л2 • •
• апп
¦
dxx ~dT
dxn dt
Согласно правилу умножения матриц строки первого множителя должны умножаться на столбец второго, следовательно,
AX =
2 "и* і
л
2 a2jxj
2 anjX]
/=і
, Л^-j-F =
п
2 O2)Xj+f2
/=1
2 +
в нормальной форме, имеет вил
л
4г == 2 fly W + С = 1-2.....я). (3-17)
/ = 1
или в векторной форме
системы линейных дифференциальных уравнений
183
Равенство матриц означает равенство всех их элементов, следовательно, одно матричное уравнение (3.18) или
2 a\jXj+f\
rfx,
dt
rfx2
dt
=
dxn
dt
2 a2Jxl + /2
y = i
2 aajxj + /„
эквивалентно системе (3.17).
Если все функции U1)(P) и fi(t) в (3.17) непрерывны на отрезке а 1^b, то в достаточно малой окрестности каждой точки
(/0, X10, X20.....хл0), где a ^t0 ^b, выполнены условия теоремы
существования и единственности (см. стр. 169) и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная кривая системы (3.17).
Действительно, в рассматриваемом случае правые части системы (3.17) непрерывны, и их частные производные по любому Xj ограничены, так как эти частные производные равны непрерывным на отрезке a 4^.t 4^b коэффициентам aLj(t).
Определим линейный оператор L равенством
L[X]=^-
АХ,
тогда уравнение (3.18) еще короче можно записать в виде
L[X]=F.
(3.19)
Если все Z1V) = O (1=1, 2..... п), или, что то же самое,
матрица F = O, то система (3.17) называется линейной однородной. В краткой записи линейная однородная система имеет вид
L[X]=O.
Оператор L обладает следующими двумя свойствами:
1) L[cX] = cL[X[,
где с — произвольная постоянная.
2) L[X1A-X2]= L[X1] +L[X2]. Действительно,
d(cX)
(3.20)
dt
. А(сХ)== с[^-АХ],
d (X1 + X2) dt
.A(X1+X2)==^-AX1
і i dXj T\ dt
AX2y
184
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ
[гл. 3
Следствием свойств 1) и 2) является
[т Tm
где C1 — произвольные постоянные.
Теорема 3.1. Если X является решением линейной одно родной системы L[X] = O, то сХ, где с — произвольная постоянная, является решением той же системы.
Доказательство. Дано L[X] = O, надо доказать, что L[cX] = 0.
Пользуясь свойством 1) оператора L, получим
L[cX] = cL[X] = 0.
Теорема 3.2. Сумма X1 + X2 двух решений Xx и X2 однородной линейной системы уравнений является решением той же системы.
Доказательство. Дано L[Xx] = 0 и L[X2] = 0. Требуется доказать, что L [X1 + X2] = 0. Пользуясь свойством 2) оператора L, получим
L[X1+X2] = L[X1]+ L [X2] == 0.
т
Следствие теорем 3.1 а 3.2. Линейная комбинация 2 ci^i
с произвольными постоянными коэффициентами решений
X1, X2.....Хт линейной однородной системы L[X] = O является
решением той же системы.
Теорема 3.3. Если линейная однородная система (20) с действительными коэффициентами atj(t) имеет комплексное решение X = U + (V, то действительная и мнимая части
U1
V)
U2
U =
•
и V =
•
Un
Vn
в отдельности являются решениями той же системы.
Доказательство. Дано L[U+ IV] = O. Надо доказать, что
L[U] = O и L[KIs=O.
Пользуясь свойствами 1) и 2) оператора L, получаем
L[U + (V] = L [U] + iL [V] — 0.
Следовательно, L[U] = O и L[V] = O.
S 4] системы линейных дифференциальных уравнения
185
X1 =
X21 (f)
xni(t)
называются линейно зависимыми на отрезке a4^.t^.b. если существуют постоянные O1, (x2.....ап такие, что
CK1X1+- U2X2+ ... ~\-О.пХп = 0 (3.21)
при причем по крайней мере одно at ф 0. Если же тож-
дество (3.21) справедливо лишь при о, =а2 = • ¦ • = Ctn = 0, то
векторы X1, Заметим, тождествам:
