Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Следует заметить, что и в тех случаях, когда система п уравнений (3.25) сводитоя к уравнению порядка ниже п (см. замечание 1 стр. 176), характеристические уравнение последнего необходимо имеет корни, совпадающие с корнями уравнения (3.27) (так как уравнение, к которому свелась система, должно иметь решения вида eks*, где ks—корни уравнения (3.27)). Но возможно, что кратности этих корней, если порядок полученного уравнения ниже п, будут ниже кратностей корней уравнения (3.27), и следовательно, возможно, что в решении (3.33) степень первого множителя будет ниже, чем Y— 1. т- е- если мы будем искать решение в виде (3.33), то может обнаружиться, что некоторые коэффициенты A(/\ в том числе и при старшем члене, обращаются в нуль.
Итак, решение системы (3.25), соответствующее кратному корню характеристического уравнения, следует искать в виде (3.33). Подставив (3.33) в уравнение (3.25() и, требуя, чтобы оно обратилось в тождество, определим матрицы Л(/\ причем некоторые из них,
(S)
в том числе и A\i\, могут оказаться равными нулю.
Замечание. Можно точнее указать вид решения системы (3.25), соответствующего кратному корню характеристического уравнения (3.27). Преобразовав систему (3.25) неособенным линейным преобразованием к системе, в которой матрица || А—kE\\ имеет нормальную Жорданову форму, и проинтегрировав полученную легко интегрирующуюся систему уравнений, обнаружим, что решение, соответствующее кратному корню ks характеристического уравнения (3.27) кратности у, имеет вид
198 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 3
-с,е
Пример 2.
X = C1«5' 4 C2 у = 2с,<?5<
с2е
dx dt dy
dt
Характеристическое уравнение
1 — * —5 2 —1—/?
имеет корни ki, 2 = ± 3/, X1 = O1«3", у і -уравнению удовлетворяют, например, Ot1
= X — 5у,
= 2х-
= 0 или ft2-(-9 = 0
¦ а2еш, (1 — 30 а, — 5а2 = 0. Этому = 5, а2 = 1 — 3/. Следовательно
5 (cos 3/ + / sin З/),
Mt
х,
у, = (1 _ ЗО еш = (1 — 30 (cos 3t + і sin 3t).
Действительная и мнимая части этого решения также являются решениями рассматриваемой системы, а их линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами является общим решением:
X = бе, cos 3/ 4" 5?2 sin 3/,
у= C1 (cos 3t + 3 sin 3t) + c2 (sin 3t — 3 cos 3t).
Пример 3.
dx ~dt
= x — y,
(3.35)
Характеристическое уравнение \—k —1 1 3 —ft
= 0 или ft2 —4ft+4 = 0
имеет кратный корень ftli2 = 2. Следовательно, решение следует искать в виде
X = (а, 4- P1 у = (а2 4- р2г Подставляя (3.36) в (3.35), получим
2а, + ?, + 2?, / е» а, + ?,/ - а2 - ?2*.
\t)en, I \t)eK J
(3.36)
откуда
02 = — ?i.
(X2 = — a, — ?t.
Для определения коэффициентов а',2 и а22) получаем уравнение 2а',2' 4--|_2а(22) = 0, откуда а22) =—af\ коэффициент а(,2) остается произвольным. Следовательно.
X2-
Общее решение
§ 6] ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 199
(x1 и P1 остаются произвольными. Обозначая эти произвольные постоянные соответственно с, и C1, получим общее решение в виде
X = (C1 -f- c2t) e2t,
У = — Сі + C2 + c2t) e2t.
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений «-го порядка
Все изложенные в § 7 гл. 1 методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка без существенных изменений переносятся на системы уравнений первого порядка, а также на уравнения порядка выше первого, которые обычным способом сводятся к системе уравнений первого порядка (см. стр. 85).
1. Метод последовательных приближений. Как было указано на стр. 51, метод последовательных приближений применим к системам уравнений
dy.
¦37" =/«(*. Уі. У2.....Уп) ('=1.2.....я) (3.37)
с начальными условиями Уі(х0) = у10 (1 = 1, 2, я), если функции /і непрерывны по всем аргументам и удовлетворяют условиям Липшица по всем аргументам, начиная со второго.
Нулевое приближение уI0(X) (1=1, 2.....я) может быть выбрано произвольно, лишь бы удовлетворялись начальные условия, а дальнейшие приближения вычисляются по формуле
X
Уі, HiW = ^o+ Уі»- Уы.....Упи)ах (1=1,2.....п).
Так же как и для одного уравнения первого порядка, этот метод редко применяется в практике приближенных вычислений ввиду сравнительно медленной сходимости приближений и сложности и неоднотипности вычислений.
2. Метод Эйлера. Интегральная кривая системы дифференциальных уравнений
dy.
-OT = Zi(X- У\• У2.....Уп) (I=U 2.....я),
определяемая начальными условиями yt(x0) = yl0 (/=1, 2, я), заменяется ломаной, касающейся в одной из граничных точек каждого звена проходящей через ту же точку интегральной кривой (ш рис. 3.2 изображена ломаная Эйлера и ее проекция только і:;.
200
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
ГГЛ. 3
плоскость Xy1). Отрезок 'X0 4 х *СЬ, на котором надо вычислить решение, разбивается, на части длиной А, и вычисление проводится по формулам
* (/ = I, 2,.... я).
Сходимость ломаных Эйлера к интегральной кривой при h—>0 доказывается так же, как для одного уравнения первого порядка (см.
