Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
393
возможны, кроме того, решение ищется и классе кусочно непрерывных управлений.
Оба эти обстоятельства весьма характерны для большинства практических задач на оптимальное управление.
Задачи к главе 9
і
1. Найти экстремали изопериметрической задачи v [у (х)] = J* (у'2-|_х2) dx
при
условии J у2 dx = 2; у (0) = 0; у (1) = 0.
о
2. Найти геодезические линии круглого цилиндра г = R. Указание. решение удобно искать в цилиндрических координатах
г, ф, г.
3. Най і и экстремали изопериметрической задачи
V [у (х)) = j у'2 dx при условии J у dx = а.
X дг,
где а — постоянная.
4. Написать дифференциальное уравнение экстремалей изопериметрической задачи об экстремуме функционала
Xi
V [у (X)] = j [р (X) у'~ + q (X) у'] dx і
Xi
при условии j г (х) у2 dx = 1; у (0) = 0; у(х,) = 0.
о
5. Найти экстремаль в изопериметрической задаче об экстремуме функционала
і
V [у (X); г (х)] = j* (у'2 +- г'2 — іхг' — \z) dx
о
§ (y'2 - ху'- z'2) fiU = 2; у (0) = 0; z (0) = U; у (1) = 1;
і
при условии
2(1) = 1.
26 Л. Э. Эльсгольц
I
ГЛАВА 10
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
§ 1. Прямые методы
Дифференциальные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. В связи с этим естественно возникает потребность в иных методах решения этих задач. Основная идея так называемых прямых методов заключается в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных. Эта задача на экстремум функции конечного числа переменных решается обычными методами, а затем предельным переходом получается решение соответствующей вариационной задачи.
Функционал V [у (х)\ можно рассматривать как функцию бесконечного множества переменных. Это утверждение становится совершенно очевидным, если предположить, что допустимые функции могут быть разложены в степенные ряды:
у (х) = а0 + ахх -j- а2х2 -)- ... -j- апхп -\- ....
или в ряды Фурье:
OO
у (х) = -у- 4- 2 (с„ cos пх 4- bn sin пх),
л=1
или вообще в какие-нибудь ряды вида
OO
у(X)= 2 апуп(х),
п = 0
где ф„ (х) — заданные функции. Для задания функции у(х), пред-
OO
ставимой в виде ряда у (х) = 2 апЧ>п (•*)¦ достаточно задать значе-
л = 0
ния всех коэффициентов ап, и следовательно, значение функционала V [у (х)] в этом случае определяется заданием бесконечной последовательности чисел: а0, O1, а2, .... ап.....т. е. функционал является
КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА
395
функцией бесконечного множества переменных:
v[y(x)] = (p(a0, ах.....а„, ...).
Следовательно, различие между вариационными задачами и задачами на экстремум функций конечного числа переменных состоит н том, что в вариационном случае приходится исследовать на экстремум функции бесконечного множества переменных. Поэтому основная идеи прямых методов, заключающаяся, как уже сказано выше, в том, что вариационная задача рассматривается как предельная для задачи на экстремум функций конечного числа переменных, является весьма естественной.
Л. Эйлер в первый период своих исследований в области вариационного исчисления применял метод, называемый теперь конечно-разностным прямым методом. Этот метод в дальнейшем длительное время совсем не применялся и лишь в последние три десятилетия был с большим успехом снова возрожден в работах советских математиков (Л. А. Люстерник, И. Г. Петровский и др.).
Другой прямой метод, известный под названием метода Ритца, в разработку которого весьма значительный вклад внесен советскими математиками (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и др.), в настоящее время находит широкое применение при решении различных вариационных задач.
Третий прямой ,метод, предложенный Л. В. Канторовичем, применимый к функционалам, зависящим от функций нескольких независимых переменных, находит все более и более широкое применение в тех же областях, в которых применяется метод Ритца.
В дальнейшем мы остановимся лишь на этих трех основных прямых методах, причем доказательства многих утверждений будут опущены. Читателя, желающего более детально ознакомиться с применяющимися в настоящее время прямыми методами, мы отсылаем к книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [10] и к книге С. Г. Михлина [11].
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера
Идея конечно-разностного метода заключается в том, что значения функционала v[y(x)], например
J F(x, у, y')dx, у (X0) = а, у (X1) = Ь,
Xa
рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариационной задаче, кривых, а лишь на ломаных, составленных из заданного числа п прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин:
X0 + Ах, X0+-2Ax.....X0+ (п—1)Ах, где Ах=*Хі~*ч (рив. ЮЛ).
26*
396
прямые методы в вариационных задачах
ГГЛ. IO
На таких ломаных функционал v [у (х)\ превращается в функцию
ф(у,, у2.....Уп-i) ординат yj, у2, .... уп_1 вершин ломаной, так
как ломаная вполне определяется отими ординатами.
