Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Среди таких экстремальных задач, исследовавшихся еще в древней Греции, были и вариационные задачи, например упомянутая на стр. 282 задача о нахождении замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площадь *). Задавая кривую в параметрической форме x = x(t), у = у (t), можно эту задачу формулировать так: найти максимум функционала
S = j ху dt I или S = L^ (х_у — yX) dt j
при условии, что функционал
и _
J Vx1 + у2 dt
386 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ (ГЛ. 9
В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более общий класс задач, а именно: все вариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала
V = j F(x, ух, у2.....уп, у[, у'г.....y'n)dx
при наличии так называемых изопериметрических условий
Xi
/ Уу У2.....Уп' У'г У2.....У'п)ах = 1і
(/=1, 2.....т),
где lt— постоянные, т может быть больше, меньше или равно п, а также аналвгичные задачи для более слвжных функционалвв.
Изопериметрические задачи могут быть сведены к задачам на условный экстремум, рассмотренным в предыдущем параграфе, путем введения новых неизвестных функций. Обозначим
X
j Ftdx = zt(x) (1=1, 2.....т),
Xl
ОТКуДа Z1(Xq) = O И ИЗ УСЛОВИЯ J* F1UX = Ii ИМееМ Zi(Xi) = I1.
Xo
Дифференцируя Zj по х, будем иметь
Zl(X) = F1(X, yv у2, .... уп, у[, у'2.....у'п)
(/=1, 2.....т).
X1
Тем самым интегральные, изопериметрические связи j F1Ux = I1
"о
заменились связями дифференциальными:
Z1I = Fi(X, yvy2.....уп, у\, у'2.....у;)
(/=1,2.....т)
и, следовательно, задача свелась к задаче, рассмотренной в предыдущем параграфе.
Применяя правило множителей, можно вместо исследования на
Xi
условный экстремум функционала V= j F dx при наличии связей
$ 3) ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ 3g7
dx,
где
F* = F+ 2 K(X)(F1-z'd-Уравнения Эйлера для функционала V* имеют вид
7* d о*,
d „*,
:0 (/=1, 2, .... д),
или
(7=1. 2.....л),
Из последних яг уравнений получаем, что все л.2 постоянны, а первые га уравнений совпадают с уравнениями Эйлера для функционала
V**= / [F-T-^1KfAdX.
х, \ Ы\ I
Таким образом, мы получаем следующее правило: для получения основного необходимого условия в изопериметрической задаче о нахожі
ждении экстремума функционала v = j F dx при наличии связей
х-,
j Ftdx = li (1=1, 2,..., tri) надо составить вспомогательный
функционал
/ [F+ ^KFAdx,
где К — постоянные, и написать для него уравнения Эйлера.
F1 — z\ = 0 (і = 1, 2.....tri) исследовать на безусловный экстремум
функционал
388
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
[ГЛ. 9
Произвольные постоянные C1, C2.....C2n в общем решении
системы уравнений Эйлера и постоянные Xj1 X2.....%т определяются
из граничных условий
и из изопериметрических условий
(/=1. 2,
а)
X1
F1 dx = 1,
(г = 1, 2.....т).
Система уравнений Эйлера для функционала v** не изменяется, если V** умножить на некоторый постоянный множитель ц0 и, следовательно, представить его в виде
Xi т
Vo0" = J S dx-
X1 1=0
где введены обозначения F0 = F, U^ = XyH0, 7=1, .... т. Теперь все функции F1 входят симметрично, поэтому экстремали в исходной вариационной задаче и в задаче на нахождение экстремума функ-
У
ционала j Fsdx при наличии изо-
D
периметрических условий
Xi
F1 dx = lt
Xa
(1 = 0, 1,2,...
..., s — I, s-\- I.....т.)
совпадают при любом выборе
s (s = 0, \.....в).
Рис- 9.1. Эхо свойство носит название
принципа взаимности. Например, задача о максимуме площади, ограниченной замкнутой кривой заданной длины, и задача о минимуме длины замкнутой кривой, ограничивающей заданную площадь, взаимны и имеют общие экстремали.
Пример 1. Найти кривую у = у (х) заданной длины /, для которой площадь S изображенной на рис. 9.1 криволинейной трапеции CABD достигает максимума.
Исследуем на экстремум функционал
х.
S=J у dx. у (ха)¦¦
Xi
§ 3] ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ggg
у (jfi)= Jr1, при изопериметрическом условии
j Yl + у'2 dx= I. Составляем сначала вспомогательный функционал
S** = j (у + Я Yl + У'2) dx.
Так как подынтегральная функция не содержит х, то уравнение Эйлера для S** имеет первый интеграл F— y'Fy, = С, или, в данном случае,
У + К YT+Ty^ - Д!_ = с„ yi + y2 -
откуда
Vi +у'2
Вводим параметр t, полагая у' = tg t; тогда получим у — Ci = — к cos
dy , , dy к sin tdt. ...
^ = tg/, откуда = ^ = ___,= я. cos* Л;
X = Я sin і + C2.
Итак, уравнение экстремалей в параметрической форме имеет вид:
X — C2 = к sin t, у — Cx = — Я cos t,
или, исключая t, получим (х—C2)2 + (у — C1)2 = Л2 — семейство окружностей. Постоянные С], C2 и Я определяются из условий
Xl
у(*о) = уо. у(*і) = уі и J Yl + У'2 dx=l.
Пример 2. Найти кривую AB заданной длины ограничивающую вместе с заданной кривой у = / (х) максимальную площадь, заштрихованную на рис. 9.2.
Требуется определить экстремум функционала
