Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Выбираем ординаты yv у2, y„_t так, чтобы функция
ф(у1( у2..... Уп-і) достигала экстремума, т. е. определяем
У\* У2' •••• Уп-\ из системы уравнений
J?!L = 0 -^L = O дч =о
oy, ' oy2 oy„_,
а затем переходим к пределу при п->оо. В пределе при некоторых ограничениях, налагаемых на функцию F, получим решение вариационной задачи.
Удобнее, однако, значение функционала v[y(x)] на указанных выше ломаных вычислять приближенно, например в простейшей задаче заменять интеграл
X1 п_х X0+ (к + I)Ax
JF(x, у, y')dx «2 / f(x, у, Ук+1^Ук jdx
X к = 0 Ха+к Ax
интегральной суммой
1=1
В качестве примера выведем уравнение Эйлера для функционала
Xx
- V [у (X)]= f F(x, у, y')dx.
§ 3] МЕТОД РИТЦА 397
В этом случае на рассматриваемых ломаных
«іу(*)]*ф(Уі. ъ.....y„-i) = 2 V- у і- -1+1~Уі)ах.
і = 0
Так как от у, зависят лишь два слагаемых этой суммы:
/-е и (/ — 1)-е,
то уравнения m-= 0 (/ = 1, 2, .... п — 1) принимают вид
V- ^Г^А*+М*'' ^^-)(-тУА* +
или
„ , дул ру{хг У г ^)~^(^-^Jf, V' ^ лг]--д*-^0'
или
Переходя к пределу при п—>оо, получим уравнение Эйлера
которому должна удовлетворять искомая функция у (х), реализующая экстремум. Аналогично может быть получено основное необходимое условие экстремума в других вэриационных задачах.
Если не совершать предельного перехода, то из системы уравнений -~- — 0 (1=\, 2, п—1) можно определить искомые
ординаты ур у2, .... y„_j и тем самым получить ломаную, являющуюся приближенным решением вариационной задачи.
§ 3. Метод Ритца
Идея метода Ратца заключается в том, что значения некоторого функционала v [у (х)\ рассматриваются не на произвольных
допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на Beert
ВОЗМОЖНЫХ ЛИНеЙНЫХ Комбинациях Уп = 2 ai^i (х) с постоянными
398
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
ГГЛ. 10
коэффициентами, составленных из п первых функций некоторой выбранной последовательности функций
W1(X), W2(X).....Wn(X), ...
л
Функции у„ = 2 а№і (х) должны быть допустимыми в рассматри-i=\
ваемой задаче, что налагает некоторые ограничения на выбор последовательности функций W1(X). На таких линейных комбинациях
функционал v[y(x)) превращается в функцию Cp(Gi1, а2.....ап)
коэффициентов O1, а2, а„. Эти коэффициенты Ci1, а2, .... ап выбираются так, чтобы функция Cp(Gi1, а2.....а„) достигала экстремума; следовательно, O1, а2, .... а„ должны быть определены из системы уравнений
¦?-» "=1'2.....»»• ¦
Совершая предельный переход при п—*оо, получим в случае
OQ
существования предела функцию у = 2 а№і (х). являющуюся (при
(=i
некоторых ограничениях, налагаемых на функционал v[y(x)] и на последовательность W1(X), W2(x).....Wn(x), ...) точным решением рассматриваемой вариационной задачи. Если не совершать предельного перехода, а ограничиться лишь п первыми членами
п
уп = 2 a*(¦*). то получим приближенное решение вариационной
( = 1 задачи.
Если таким методом определяется абсолютный минимум функционала, то приближенное значение минимума функционала находится с избытком, так как минимум функционала на любых допустимых кривых не больше, чем минимум того же функционала на части
п
этого класса допустимых кривых — на кривых вида уп = 2 о^ИР, (¦*).
( = 1
При нахождении тем же методом максимального значения функционала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума функционала с недостатком.
п
Для того чтобы функции у„ = 2 a№i (X) были допустимыми,
1=1
прежде всего необходимо удовлетворить граничным условиям (конечно, не следует забывать и о других ограничениях, которые могут быть наложены на допустимые функции, например требованиях, касающихся их непрерывности или гладкости). Если граничные условия линейны и однородны, например, в простейшей задаче у (х0) = у (X1) = О или
М(*;)+М'(*/) = ° С/ = о. і),
МЕТОД РИТЦА
399
где p1j — постоянные, то проще всего и координатные фунК НИИ выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям. Очевидно,
п
что при этом и у„ = 2 а№і(х) при любых Oi1 будут удовлетворять
j = i
тем же граничным условиям. Пусть, например, граничные условия имеют вид у (х0) = у (x1) = 0, тогда в качестве координатных функций можно выбрать
W1 (X) = (x — x0) (x — x1) ф; (x),
где фг(х)—какие-нибудь непрерывные функции, или
Wk (X) = sin кя(х~х^ (k=\, 2, ...),
или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям
Wl(xn)=Wi(xl) = 0.
Если условия неоднородны, например у(х0) = у0, у(хх) = ух, где хотя бы одно из чисел у0 или У! отлично от нуля, то проще всего искать решение вариационной задачи в виде
У „ = ^a1W1 (X)-h W0(X)1 t=\
где W0(x) удовлетворяет заданным граничным условиям U70(x0) = y0, UZ0(X1) = У), а все остальные W1(X) удовлетворяют соответствующим однородным граничным условиям, т. е. в рассматриваемом случае W1 (х0) = W1 (X1) = 0. Очевидно, что при таком выборе при любых аг функции у„(х) удовлетворяют заданным граничным условиям. В качестве функции W0(х) можно выбрать, например, линейную функцию
