Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Xl
S = J (у — / (х)) dx-,
Xo
У (X0) = уо. У (xi) = уї
при наличии условия
390
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
{ГЛ. 9
Составляем вспомогательный функционал
*t _
S" = J(У-f(x) + X У\ +у'2) dx.
X,
Уравнение Эйлера для этого функционала не отличается от уравнения Эйлера в предыдущей задаче, и следовательно, в данной задаче максимум может достигаться лишь на дугах окружностей.
Пример 3. Найти форму абсолютно гибкого, нерастяжимого однородного каната длиной I. подвешенного в точках А и В (рис. 9.3).
____
о о
Рис. 9.2. Рис. 9.3.
Так как в положении равновесия центр тяжести должен занимать наиболее низкое положение, то задача сводится к нахождению минимума статического момента P относительно оси Ох, которая предполагается направлен-
Xl _
ной горизонтально. Исследуем на экстремум функционал P=J У Vl + У'1 dx
х*
Xl _
при условии J" Vl -\-У'2 dx= I. Составляем вспомогательный функционал х,
Xi
P** = J(у + Я) YT+y^dx,
X-i
для которого уравнение Эйлера имеет первый интеграл
F-у'Fy,= С,
или, в данном случае,
V\+y
откуда у + X ¦» Ci Vl -+- у'2. Вводим параметр, полагая у' = sh t, откуда У !-j. у'2-. ch< и у+ А,—C1 ch*; ^ = sh t; dx — ^ = C1 dt; x = C1* 4- C„
*3]
изопериметрические задачи
391
или, исключая t, получим у -(- X = C1 ch ——?¦--семейство цепных
линий.
Указанное выше правило решения изопериметрических задач распространяется и на более сложные функционалы.
Упомянем еще об одной задаче на условный экстремум — задаче об оптимальном управлении. Рассмотрим дифференциальное уравнение
j?-=f(t, x(t), u(t)) О-в)
с начальным условием х (t0) = д:0.
Кроме неизвестной функции (или вектор-функции) X (t), это уравнение содержит еще так называемую управляющую функцию (или вектор-функцию) u(t). Управляющую функцию u(t) надо выбрать так, чтобы заданный функционал
V= f F(x (г), и (f)) dt
достигал экстремума.
Функция и (t), дающая решение поставленной задачи, называется оптимальной функцией или оптимальным управлением.
Эту задачу можно рассматривать как задачу на условный экстремум функционала v с дифференциальными связями (9.6). Однако в практических задачах оптимальные функции часто лежат на границе множества допустимых управляющих функций (например, если управляющей функцией является включаемая мощность моторов, то, очевидно, эта мощность ограничена максимальной мощностью моторов, причем в решениях оптимальных задач нередко приходится включать моторы хотя бы на некоторых участках на полную мощность).
Если же оптимальная функция лежит на границе множества допустимых управляющих функций, то изложенная выше теория задач на условный экстремум, предполагавшая возможность двусторонних вариаций, неприменима.
Поэтому для решения задач оптимального регулирования обычно применяются иные методы, разработанные Л. С. Понтрягиным (см. [8]) и Р. Беллманом (см. [9]).
Пример. В системе дифференциальных уравнений
dx dv ,. s __v
4t=v' ~dT = U (< —время), (9.7)
описывающей движение точки в плоскости с координатами х, V, определить управляющую функцию и (t) так, чтобы точка А (х9, V0) переместилась в точку В (О, 0) за наименьший промежуток времени, причем | и | ¦< 1 (так d2x
как и = , то и можно считать силой, действующей на точку с единичной массой).
392 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ [ГЛ. 9
Управляющая функция u(t) кусочно непрерывна. Для упрощения рассуждений предположим, что она имеет не более одной точки разрыва, однако окончательный результат верен и без этого предположения.
V
I
I I о
Рис. 9.4.
Рис. 9.5.
Почти очевидно, что на оптимальных траекториях и ¦
dx
этих значениях -гт dt
так как при
достигают наибольших значений и, следовательно, точка движется с наибольшей скоростью. Полагая в (9.7) и = 1, получим
» = x = ^- + Ckt + C2,
или v2 = 2(x—С), и аналогично при и = — 1;
v = — t + Clt X = — -у + c1/ + c2, v2 = —2 (х — С).
На рис. 9.4 и 9.5 изображены эти семейства парабол, причем стрелки указывают направление движения при возрастании t. Если точка А (х0, V0)
лежит на проходящих через начало координат дугах парабол
V = — Ух или v=Y—•>
(9.8)
(рис. 9.6), то оптимальной траекторией является дуга одной из этих парабол, соединяющая точку А с точкой В, Если же точка А не лежит на этих параболах, то оптимальной траекторией будет дуга параболы АС, проходящая через точку А, и дуга CB одной из парабол (9.8) (см. рис. 9.6, на котором указаны два возможных положения точек А и С).
В этой задаче время T перемещения точки из положения А в положение В является функционалом, определяемым первым из уравнений (9.7), второе уравнение из (9.7) можно рассматривать как уравнение связи. Однако применение к этой задаче изложенных выше классических методов решения 6.JJiO бы затруднительным, так как оптимальное управление лежит на границе области допустимых управлений | и | < 1 и двусторонние вариации здесь не-
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ 9
