Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
а
v[z,\= ^ЩЬЧ'2 + ~Ь'и2-~ЬЧ^ах.
-а
Уравнение Эйлера для этого функционала
„_ 5 _ _5_ U W U~ 4Ь2
является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид
U=c1ChJ/-! j + coshj/^y -J+J-
Постоянные C1 и C2 определяются из граничных условий z (— a) = z (а) = 0 откуда C2 = O, Ci =--~—-, и окончательно получаем:
410
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ в ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ
[ГЛ. 10
причем на границе области интегрирования г = 0. Следуя методу Канторовича, будем искать первое приближение в виде
(х).
При таком выборе Zx граничные условия на прямых у = ± -L-^— х удовлетворяются.
Функционал V[Zx) после выполнения интегрирования по у принимает вид ft
V[Z1]= *Vjf. f (2х*и,2+10х*ии!+ 3Ox3U2A-I5x3u)dx.
15
Уравнением Эйлера для этого функционала будет х2и"+Ъхи' — 5а=—.
Линейные уравнения такого типа в теории дифференциальных уравнений называются уравнениями Эйлера (стр. ПО).
Одно частное решение этого неоднородного уравнения очевидно: и =
= — -г. Решение соответствующего однородного уравнения ищем в виде
и = х* и окончательно получаем U = C1X-I-C2jc-5 — -^-. Так как около
точки х = 0 решение и должно быть ограничено, то C2 следует выбрать равным нулю, а из условия и (b) = 0 полу-
чаем С, — •
Итак,
_3_ Ab '
^--4" Iі ¦
Замечание. Для приОлиженного решения краевых задач часто применяется еще один прямой не вариационный метод — метод Б. Г. Галеркина. Этот метод особенно удобен при решении линейных краевых задач, но может быть применен и ко многим нелинейным задачам. Для определенности изложим метод Галеркина в применении к особенно часто встречающимся в приложениях линейным уравнениям второго порядка
у" + р (X) у' +«Wy=ZW ' (ЮЛ)
с однородными граничными условиями у (X0) = 0, у (X1)= 0 (неоднородные граничные условия у (х0) = Уо. у(х1) = у1 заменой переменных
Z = У — Уо -легко сводятся к однородным).
уі — уо
х\ -Xq
(X-X0)
5 41 МЕТОД КАНТОРОВИЧА 41 \
Уравнение (10.1) кратко запишем в виде
L(y)=f(x).
Выберем полную на отрезке [х0, X1] систему непрерывных линейно независимых функций
W1(X)^w1(X).....Wn-(X)..... (10.2)
удовлетворяющих граничным условиям Wn(X0) = Wn(Xx) =0 (/2=1, 2, ...). Приближенное решение краевой задачи будем искать в виде линейной комбинации первых п функций системы (10.2):
п
уп = 2 V1Wi (х).
Подставляем уп в уравнение (10.1) и выбираем коэффициенты а; (/ = 1, 2, п), так чтобы функция
L Za1W1(X))—f(x)
Vt = I
была ортогональна на отрезке [х0, X1] каждой из функций W1 (х) (I = 1, 2,п)
j L I ^ UtW1(x))-/(x)
х, і W=i І
W1 (X) dx = 0 (і = 1, 2...../г). (10.3)
x-, L W=i
Естественно ожидать, что у„ стремится при п -> со к точному решению
со
у = 2 а'да< (¦*)¦
1=1 ;
так как, если полученный ряд сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, то функция L (у) — f (х) ортогональна на отрезке [х0, Xx] каждой функции W1 (х) системы (10.2), а так как система (10.2) полна, то L (у) — /(.«)==0, а это означает, что у является решением уравнения (10.1). Очевидно, у удовлетворяет и граничным условиям у (X0) = у (Xx) = 0 (так как все W1 (х0) ¦= Wi (хх) = 0).
Определить все ai из линейной по отношению к ним системы (10.3) и совершить предельный переход при п -> со удается весьма редко, поэтому обычно ограничиваются лишь конечным и притом весьма небольшим числом п (п = 2, 3, 4, 5, а иногда даже п = 1).
При этом, конечно, надо выбрать лишь п функций wt (х), поэтому условие полноты отпадает и их надо выбирать лишь линейно независимыми и удовлетворяющими граничным условиям
W1 (X0) = W1 (Xx) = 0.
Часто в качестве таких так называемых координатных функций берут многочлены:
(X-X0)(X-X1), (X — x0f (х — X1), (х — X0)3 (х — X1), ...
.... (X — X0)" (X — X1), . . . (10.3;
412 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ (ГЛ. 10
./ДШ'+(?)'-+-
dy.
Приближенное решение можно искать в виде
Z0 = а (Xі — а2) (у2 — а2).
2. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала
і
V [у (х)] = J (хъу'а 4- Шху2 — 20xy) dx; у (1) = у' (1) = 0.
о
Указание. Решение можно искать в виде
уп(х) = (X — I)2 (ct0-fa,* + ... +а„х");
провести вычисления при П = 1.
3. Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала
і
V [у (X)]= J* (у'г — у2 — 2ху) dx; у (0)= у (1) = 0,
о
и сравнить с точным решением.
Указание. Приближенное решение можно искать в виде
Уп=-- х(\ — х)(у.0 + щх+ ... +апхп);
провести вычисление при п = 0 и п = 1.
4. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала
2
V [У (X)] = f (ху"' - ^i=I у2 - 2Х'у) dx; у (1) = у (2) = 0, и сравнить с точным решением.
(удобно при этом начало координат перенести в точку х0, и тогда в (10.3) х0 = 0) или тригонометрические функции
, пп (X — X0) , , - .
sin-1-— (/2=1,2,...).
Xj - X0
Этот метод применим к уравнениям любого порядка п, к системам уравнений и к уравнениям в частных производных.
