Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Эльсгольц Л.Э. -> "Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление " -> 127

Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление — Наука, 1969. — 425 c.
Скачать (прямая ссылка): differencialnie-urovneniya.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 .. 131 >> Следующая


Задачи к главе 10

1. Найти приближенное решение уравнения Az = — 1 внутри квадрата — а^х*Са, —а < j < а. обращающееся в нуль на границе этого квадрата.

Указание. Задача сводится « исследованию us экстремум функционала

задачи к главе 10

413

Указание. Решение можно искать в виде

у = <х(х — 1)(х —2).

5. Найти методом Ритца приближенное решение задачи о минимуме

и сравнить с точным решением. Указание. См. задачу 3.

6. Найти методом Ритца приближенное решение дифференциального уравнения у" -\- х2у = х; у (0) = у (1) = 0. Определить ys (х) и у3 (х) и сравнить их значения в і очках х = 0,25, х = 0,5 и х = 0,75.

функционала

2

» [У <*)] - (У'" 4- У2 + 2ху) rfx; у (0) = у (2) = 0.

о

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

К главе 1

1. sin у cos X = с. 2. 6х2 -\- 5ху -\- у2 — 9х — Зу = с. 3. х2 — Icy = с2.

4. у = — + —• 5. + — = с. 6. X = се"3' 4- 4 е2'. 7. у = с cos х -+- sin х.

' х 1 4 2 X '5

8. еж — еу = с 9.x = се' — -^- (cos / 4- sin г). 10. Однородное уравнение:

X

x = yecy+l. П.у = сх и у2 —X2 = с. 12. у2 = 75-4-^2- 13. 1п|*| = с —*

(ОХ -)- С)

( X = sin

14. Можно ввести параметр, полагая у' = cos f ' t , sin 2i

j J х = р»-/» + 2,

15. у = сх 4—; особое решение у2 = 4х. 16. < 3 р2 , 17. Урав-

1 4 з

dx , у3 10 I х = т р3— —р<-}-с,

нение линейно относительно x и з—, x = су 4- TT- 18. < J і

dy ' ~ 2 !

19. Гиперболы X2 — у2 = с. 20. Дифференциальное уравнение искомых кривых -^- = у'. Оте. у2 = 2сх. 21. Дифференциальное уравнение искомых кривых у — ху' = х. Оте. у = сх — X In I X 1. 22. X2 4- У2 — 2су = 0. Особенно просто задача решается в полярных координатах. 23. Дифференциальное

уравнение задачи —^- = k (T — 20). Отв. Через 1 час. 24. Дифференциаль-dv

ное уравнение задачи —-^ = kv, где v — скороеть. Отв. v я 0,466 км/час.

25. Если поместить начало координат в заданную точку и направить ось абсцисс параллельно данному в условиях задачи направлению, то дифференциальное уравнение кривых, вращением которых образуется искомая поверхность, имеет вид у' = —Х ± ^"х У (или dx — dp = 0, где р = Yx2 4- у2).

Отв. Осевое сечение искомой поверхности определяется уравнением у2=2сх4-с2, поверхность является параболоидом вращения. 26. у = 2 sin (х—с).

27. Дифференциальное уравнение искомых' кривых у' = — —. Отв. Гипербо-

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 415

^ у = 2рх—р2.

36. (л-4-у 4-1)3= се2х+у. З7.у = с; у = ех 4-с; у = — в^4с. 38. у2 =2с*4-с2.

oa 14 4« ^2—! X2 — 1 . 2 1 . x3 x5

39. Не имеет. 40. у,=-§-; у2 =—§--j_ 4-

41. у = 2.*2-—л:. 42. Не имеет. 43. х = сеу. 44. х24--^- = с2. 45. х = 2t.

х2

46. л: = /2. 47. у = —X 4-1 и у =---. 48. Действительного решения не

существует. 49. Зх—4у + 1 = сех~у. 50. х = (4*4- с) sin t. 51. у = сх-]---^—

7 X3 а

и особое решение у = — X2. 52. у = -j—:—, у = 0. 53. л: — с = -?г-(2?—sin 2<),

у = -^-(1—cos 2t) — семейство циклоид. Особое решение у = а. Указание: удобно ввести параметр t, полагая у' = ctg I. 54. 3 (х2 A-у) Ar ху3 = сх.

X

55. и = -^- _| х)3 . 56. х=с<?у. 57. х24-2ху —у2—6х —2у = с.

58. У = -г-і-П-і- и у = 0. 59. (л-2 — 1) у — sin х = с. 60. 8у4~4х4-5 =

I -j- CX -J- J П X

= се4х-8У-4 61. у34-х3-3ху = с. 62. y = cU24-V2)- 63. у3=х+^-.

, ' (хА-а)2 2 с

64. у = с (х 4- а) 4" с2 и особое решение у ~---—^ 65. х = -д- '-f"^ •

3 с

у = 2x? — ^2 и у = 0, у = -j X2. 66. у = ¦

К главе 2

l.y= 5е3х sin л: 4-10. 2. л: = c1 cos / 4- C2 sin / 4" у cos 2*

1 „. < cos ?

cos2 л:

3. (у — C3)2 = C1X 4-C2- 4. у = C1 cos л:4-C2 sinx-j—^——-^—.

5. у = C1X2 4- C2x3 4-у- 6. у = C1 sin x 4- C2 cos x 4- ~ ch х. 7. у = с Са + 1-

jeвв2'(с,+ Сз*)+ IL.4-е«4-1. 9. у = _ Jl+uiiini i4-cixi4-c2.

2 4 C1 Cf

x2 1

10. c1x2^-I=cj (t-\-c2y. \\.у = с1еіхАгс2е~гхАгсг cos 2x4-c4 sin 2x—-tg+t-g **•

x4

12. у = cos (x — c,-)4-c2x4-c8. 13. у = cxex'+c2e~x'+c3x34-c4x24-c5x4-c6 —

/ 4xa

14. x«=«' (c1 4- V)+ «-'(?8+ V) + 1 + Л »5. у — «b (1 — •573 +

лы ху = с. 28. (дг-f у 4-1)3 = C(jc-V + 3). 29. у = _1^±^_. 30.у (0.5) »

«0,13. 31. у (0,6) « 0,07. 32. у (0,02) и 1,984; у (0,04) и 1,970; у (0,06) я 1,955; у (0,08) и 1,942; у (0,10)« 1,930; у (0,12) » 1,917; у (0,14) я 1,907; у (0,16) я 1,896 у (0,18) » 1,886; у (0,20) я 1,877; у (0,22)« 1,869; у (0,24) я 1,861; у (0,26) я 1,854;

іX = -4-?^ _

у (0,28) я 1,849; у (0,30) я 1,841. 33.1 />2_Г 3 ' и у = 0. 34. x4-ctg ~I = с.

416 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

42X6 . (—1)*4*х3* . \ . / 4л-'

2-3-5-6 "' ~1 2-3-5-6 ... (3ft —1) ЗА -r---) + ci\x -3Т4 +

, #х> і (-l)'4?t+l \

"^3-4-6-7 "' "г" 3 • 4 • 6 • 7 ...3*-(3ft + l) ¦¦¦)' ь- у~

= Cxj ^ (Зх) + C2j j (Зх). 17. у = х. 18. у = (-^-х+lj\ 19. у = с, cos л +
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 .. 131 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed