Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление - Эльсгольц Л.Э.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 1. При изучении колебаний заделанного клина постоянной толщины (рис, 10.3) приходится исследовать на экстремум функционал
і
V= j(йх3у*2 — Ьху2) dx; у (1) = у' (1) = 0,
*) См. книгу Канторовича и Крылова [10]!
где р (х) > 0; q (х) 0, часто встречающихся в приложениях, не только доказана сходимость приближений, получаемых по методу Ритца, к функции у (х), реализующей минимум функционала, при координатных функциях
Wk (X) = У'2 sin ал je (? = 1,2....),
но и даны весьма точные оценки погрешности \у(х)— у„(х)\.
Приведем одну из этих оценок максимума \у'(х) — У„(х)\ на отрезке (0, 1):
тах|у — у„|<
§ 3] метод ритца 403
где а и 6 — положительные постоянные. За координатные функции, удовлетворяющие граничным условиям, можно взять
(X — I)2, (X — I)2 х, (X — I)2X2.....(X — if хк~\ ..
следовательно,
Ограничиваясь лишь двумя первыми членами, будем иметь
у2= (X — I)2 (а, +а2х),
тогда
і
V2 = V [у2] = j [ах3 (ба2х -j- 2O1 — 4а2)2 — bx (х — I)4 (а, -f- ct2x)2] dx =
= «[(«!- 2«2)2 + X «2 («: - 2«2) + 6а2] - * (-g- + -??
280
Необходимые условия экстремума -^2- = 0; = 0 принимают в данном случае вид
(a-4oh+(ia—-кж)а2=о
105
2 b \ .
Для получения решений, отличных от решения а, = а2 = 0, которое соответствует отсутствию колебаний клина, необходимо, чтобы определитель этой однородной линейной системы уравнений был равен нулю:
* 2
Л—зо ~Та
Ь
105
2 Ь 2
280"
И/2 * \ 30 J \ 5 а 280 j
(2 „
Это уравнение называется уравнением частот. Оно определяет частоту 6 собственных колебаний клина, описываемых функцией
и (х, t) = у(х) cos bt.
Меньший из двух корней Ъ\ и Ь2 уравнения частот дает приближенное значение частоты основного тона колебаний клина.
Пример 2. В задачах, связанных с кручением цилиндра или призмы, приходится исследовать на экстремум функционал
404 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ [ГЛ. IO
Vі — а2 *2 — а2
¦ а2 + *2 ' 1 а2 + й:
Пример 3. Если в условиях предыдущего примера область D будет прямоугольником со сторонами 2а и 2b, —а <. х < а; —6 <. у < 6, то, взяв за координатные функции ху. ху3, х3у, т. е. положив
Z3 = <х,ху + <х2ху3 + <х3х3у,
получим
. ^ fl*3 (в1 _ 1)2 + 4a,S + ^ «I + ^ ^ + а2 +
+ -І а3* (а, + I)2 4- -| ab5 (а, — 1) а2 + -| аЧ (а, + 1) а2 —
8*8 8
— g- а5* (а, + 1) а3 — — аЧ3 (а2 4- *2) а2а3 — а3*3 (а, —• 1) а,.
Необходимые условия экстремума —— = 0, --—^- = 0, -^-5- = 0 позво-
U(Xj C(X2 OCL3
ляют вычислить о], а2, а3:
__7 (a8 — Ьв) + 135а2&2 (а2 — Ь2)
0(1 7 (а6 + й6) + 107а262 (а2 + Ь2) '
___7а2 (3a2 + 3562)
"2~ 21 (a6 + bs) + 321а2й2 (а2 + Ь2) '
_7b2 (35а2 + ЗЬ2)
21 (а6 + Ь*) 4- 321а2*2 (а2 4- Ь2)'
Пример 4. Найти решение уравнения д2г д2г ,.
внутри прямоугольника D, 0 ^ х •< а, 0 <: у < Ь, обращающееся в нуль на границе D. Функция / (х, у) предполагается разложимой внутри рассматриваемого прямоугольника в равномерно сходящийся двойной ряд Фурье:
OO OO
P=I ?=1
«3 !
Для цилиндра с эллиптическим поперечным сечением область интегрирова
X2 у2
ния D будет ограничена эллипсом -^- -j- = 1. В этом случае, взяв лишь одну координатную функцию ху, получим
' г, - аху, V [z,j = V1 - [(а + Xf а> + (а - I)2 Ь2).
Необходимое условие экстремума -^- == 0 принимает в данном случае вид (а-)-1) а2 + (а—1)й2 = 0, откуда
§ 3]
МЕТОД РИТЦА
405
Эту краевую задачу можно свести к вариационной задаче, т. е. подобрать функционал для которого заданное уравнение было бы уравнением Остро-градского, и затем одним из прямых методов найти функцию, реализующую экстремум этого функционала, и тем самым найти решение исходной краевой задачи Как легко проверить,
ii?+W~f(x' у)
является уравнением Остроградского для функционала
\ [Z (л, у)] = j j [(Л)2 + (^.J + 2zf (х, у)] dx dy 'о'
(см. стр. 315). Граничное условие сохраняется: Z= 0 на границе области D. Исследуем этот функционал на экстремум методом Ритца. В качестве системы координатных функций возьмем
лх , л у
sin т- sin її —~
а Ь
{т. п-
1, 2, ...)•
Каждая из этих функции и их линейные комбинации удовлетворяют граничному условию z = U на границе области D. Свойством полноты эти функции также обладают Взяв
zn, т— ^ apq
лх лу
sin р-sin q
Ґ a b
будем иметь
P=i <?=1
0 0 L
+ пт V- ^ ?p(7 sin p~s\r\q^-
P=i q=l
dx dy ¦-
_ лгаЬ Y V
p=i ?=)
PT
P=I q=\
Этот результат легко получить, если принять во внимание, что координатные
TtJC ЗХ V
функции sin p—sinq~- (р, q= 1, 2, ...) образуют в области D ортого*
лх _ яу а ¦ T нальную систему т. е.
//Si"
лх . лу , ях , лу , , п
р-sin q ~— sin р, -sin q, —- dx dy = О
а о a b
при любых целых положительных р, q, ри qlt за исключением случая р= pif q=qt При р=р, и q = q, получаем
406 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ ГГЛ. W
