Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Напомним, как найти эту высоту. Для этого можно применить часто используемый метод площадей. А именно, найти площадь треугольника ABC двумя способами.
Отсюда CH
SABC = jCH-AB = ±AC-BC.
AC ВС AB '
Полезно запомнить словесную формулировку этого равенства: Высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.
193
Итак, CH =
Ответ: 4
ACBC 2015
AB
25
= 12, следовательно,
OT = ^CH= 1.12 = 4.
Пример 4. В треугольнике ABC проведены биссектриса AD и прямая CF1 перпендикулярная биссектрисе AD и пересекающая ее в точке T1 а сторону AB в точке F. Известно, что DT = I1 ZACF = 50°, ZABC = 20°. Найдите углы треугольника ABC и длину отрезка CF.
Решение с комментариями. В треуголь- ^ нике ACF AT — биссектриса и высота. Следовательно, этот треугольник — равнобедренный и поэтому ZAFC = ZACF = 50°. Но сумма углов треугольника равна 180°. Значит, ZCAF = ZCAB = 80°. Отсюда ZACB = 80°. Поэтому треугольник ABC тоже равнобедренный и ВС = AB
Для нахождения отрезка CF заметим, что ZDCT = ZACD - ZACT = 30°. В
прямоугольном треугольнике CTD катет DT1 лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, CD = 2DT = 2. Поэтому
CT2 = CD2 - DT2 = 22 -1=3. Поскольку биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из его вершины, является его медианой то CF = 2CT Значит, CF=2i?. Ответ: 20°, 80°, 80°, 2^.
Пример 5. В треугольнике OBH точка M лежит на стороне OB, OM =4, MB = 28, ZOHM = ZOBH1 ZO = 45°. Найдите площадь треугольника OHM.
Решение с комментариями. Чтобы найти площадь треугольника OHM1 достаточно
найти ОН. Тогда S0HM = 4rOMOHsm45°.
В треугольниках OHB и OHM угол О — общий, ZOBH = ZOHM. Следовательно, Л OBH v> А OHM. Следовательно,
ОН = ОВ_ OM ~ ОН'
194
Откуда ОН2 = OB-OM = 32-4 = 128, и значит, ОН = 8^?. Окончательно получаем
S0HM = {ОМ- 0#sin45° = 1.4-81/21— = 16.
Ответ: 16.
Большая часть заданий ЕГЭ по планиметрии в 2004 году была посвящена теме «Треугольник. Вписанная и описанная около треугольника окружность». Подобные задачи часто встречаются в вариантах вступительных экзаменов в вузы.
Кратко напомним некоторые полезные факты, относящиеся к указанной теме.
• Центр О окружности, описанной около треугольника ABC1 есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника.
• Треугольники AOB1 AOC и BOC являются равнобедренными треугольниками
(OA = OB= OC = R).
• Угол при вершине О каждого из треугольников AOB1 AOC и BOC является центральным углом и вдвое больше соответствующего вписанного угла треугольника, то есть: ZAOB = 2ZC1 ZAOC = 2ZB1 ZCOB = 2ZA.
• Длины сторон треугольника ABC1 радиус R описанной около него окружности, углы A1 В и С треугольника ABC связаны со-
BC AC AB OD , V
отношением: ——г — . = . _ = ZR (теорема синусов).
smA smB sinC \ г J /
Отсюда следуют важные соотношения, выражающие длины сторон треугольника ЛВС: AB = 2AsinC; AC = 2Asin?; ВС = 2RsmA.
Проиллюстрируем указанные свойства.
Пример 6. Два угла треугольника равны 45° и 60°, а радиус описанной около него окружности равен 1. Найдите периметр и площадь этого треугольника.
Решение. Пусть в треугольнике ABC ZA = 45°, ZB = 60°. Тогда ZC = 75°. Применим теорему синусов. Получим длины сторон этого
195
треугольника: AB = 2 Д sin С = 2 sin 75°, AC= 2RsinB = 2 sin 60°; BC= 2RsmA = 2sin45°. Теперь можно найти периметр Рлвс треугольника и его площадь SABC = AB-AC-sinA
1 і/з"
Известно, что sin45° = —=, sin60° =
уТ 2
sin75° = sin(30° + 45°) = sin 30° • cos45° + cos30°- sin 45° = і ( Уз1 = ! + /з1
2У21 2У21 2yT
Ползаем:
^BC - ^ + 2 + 2y? -У2+УЗ+ 2 -
_ 3-1/2421/34/61
2
_1_ 2(1 + 1/?) 2/31 1 = З + 1/?
4 *
21/У
От вет: РЛ5С
_ 31/^+21/3^+/61 c — - , о
ABC
3 + Уз1
4 *
Пример 7. Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке O1 CH — его высота. Найдите градусную меру угла OCH1 если ZA = 60°, ZB = 70°.
Решение. Посмотрите на рисунок. Мы можем сразу найти угол AOC1 поскольку ZAOC= 2ZB = 140°. Но треугольник AOC — равнобедренный, поэтому
ZOAC = ZOCA = 18QO~14QO = 20°.
Чтобы найти искомый угол OCH достаточно найти угол ACH За мечаем, что треугольник ACH — прямоугольный и ZA = 60°. Значит ZACH= 30°. Теперь, окончательно, находим
ZOCH = ZACH-ZACO = 30° - 20° = 10°.
Ответ: 10°.
196
Теперь рассмотрим сведения об окружности, вписанной в треугольник.
• Центр/ окружности, вписанной в треугольник ABC1 есть точка пересечения его биссектрис.
• Пусть a = BC1 Ь = AC1 с - AB — длины сторон треугольника ABO1 г — радиус его вписанной окружности; L1 M1 N — точки касания окружности со сторонами треугольни-
а + Ъ + с
ка и р
полупери-
р-с
метр треугольника ЛВС.
Справедливы следующие соотношения, вытекающие из свойств касательных к окружности, проведенных из одной точки:
а) BN = BM = р - Ъ; CN = CL = р - с; AL = AM = р - а.
б) в треугольниках AJB1 AJC vi BJC1 образованных отрезками биссектрис треугольника ABC1 углы при вершине J связаны с углами
