Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Пример 3. При каких положительных значениях х функция
f(x) = 5т/х + \х-19\ принимает значение 23?
Решение. Два значения х=1 = 15их = 32 = 25 находятся подбором. В этих точках Дх) = 23. Для доказательства того, что других решений нет, проведем исследование функции /.
Раскрывая модуль на промежутке [19;+оо), получаем:
5 --
Дх) = 5Ух + х- 19. Вычислим производную: f(x) = х 5 + 1. Она положительна, значит, на луче [19; +оо) функция /возрастает.
Возрастающая функция каждое свое значение принимает ровно один раз. Следовательно, на этом луче нет решений, отличных от X= 32.
Раскрывая модуль на интервале (0; 19), получаем:
5 --
Дх) = 5 Yx + 19-х. Производная f(x) = х 5 - 1 равна нулю в точке X = 1, положительна слева от этой точки и отрицательна справа. Значит, в точке х = 1 данная функция принимает наибольшее значение на интервале (0; 19). И значение это, как мы уже выяснили, равно 23. Поэтому в остальных точках интервала все значения функции / меньше 23.
Ответ: 1; 32.
В следующей задаче с параметром одновременно используются свойства логарифмической, показательной и линейной функций.
171
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при которых в области определения функции у = \g{aax~2 - ах) лежат числа 13, 15, 17, но не лежат числа 3, 5, 7.
Решение. 1) По определению логарифма x?D(y), в том и только том случае, если аах~2 > ах. При а = 1 область определения пуста. Рассмотрим два случая.
2) 0 < а < 1. Тогда показательная функция с основанием а убывает и поэтому аах~2 > ах, ах-2 < х, (1 - а)х > -2.
Так как 0 < а < 1, то 1 — а > 0. Значит, D(y) = ^_а \ +°° J-
Но в этом промежутке лежат все положительные числа и, в частности, числа 3, 5, 7. Поэтому такие а не удовлетворяют условию.
3) а > 1. Тогда показательная функция с основанием а возрастает и поэтому аах~2 > аху ах-2 > ху {а- \)х > 2.
Так как а>1,тоа—1>0. Значит, D(y) = +оо j.
В этом промежутке лежат числа 13, 15, 17, только тогда, когда его левый конец меньше 13. А для того, чтобы в нем не было чисел 3, 5, 7 нужно, чтобы левый конец был не меньше 7.
4) Получаем двойное неравенство на параметр а > 1:
Следующий пример является несколько более сложной вариацией предыдущего. В нем линейные функции, стоящие в показателях степеней меняются, одна на дробно-линейную функцию, а вторая — на сам параметр. Кроме того, и условие на параметр технически более сложно.
Пример 5. В области определения функции у = \аа - ах+2 ) взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.
7 <
< 13, 7(fl-l)<2< 13(fl-l), J^Ka-I <у.
Решение. 1) Графиком дробно-линейной функции z =
5х + 2 х+2
или
8
является гипербола. По условию х > 0. При неограни-
х + 2
ченном возрастании х дробь
8
монотонно убывает и приближается
х + 2
172
к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.
I
5"
а-
I Z = zw
і
і_
і
і і
-- і і ¦
-2|
j 0 - < 2_ 1 JC
! I I I I
2) По определению степени область определения D(y) состоит из
5*+ 2
решений неравенства аа > а х+2 . При а = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.
3) При 0 < а < 1 показательная функция с основанием а убывает
и неравенство яа > а х+2 равносильно неравенству а < ^ + 2 . Так
как X > О, то z(x) > z(0) = 1. Значит, каждое положительное значе-
Sx + 2
ниєXявляется решением неравенства а < ^+2 . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.
4) При а > 1 показательная функция с основанием а возрастает и
5х + 2 го
- Sx 4- 2
неравенство яа > а *+2 равносильно неравенству а > ^ + 2 . Если
я > 5, то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 < а < 5, то множество его положительных решений — это интервал (0; х0), где a = z(x0), см. рис.
5) Целые числа расположены в этом интервале подряд, начиная с 1. Вычислим суммы последовательно идущих натуральных чисел,
173
начиная с 1: 1; 1 + 2 = 3; 1 + 2 + 3 = 6; 1 + 2 + 3 + 4 = 10;... Поэтому указанная сумма будет больше 5 и меньше 10, только если число 3 лежит в интервале (0; X0), а число 4 не лежит в этом интервале. Значит, 3 < X0 < 4. Так как z = В03Растает на [3; 4], то
2(3) < Z(X0) < z(4).
J1 5-3 + 2 ^ . 5-4 + 2 / 17 221
Поэтому -^- < а < -J75-, т. е. ^; -g-J.
Ответ: ^3,4; -y-J.
В ЕГЭ-2004 в части 3 впервые появились задания, условия которых в явном виде предполагали исследование функции с помощью производной. Первоначально планировалось в качестве задачи С2 предложить текстовую задачу, в которой ученики должны составить простейшую математическую модель, ввести необходимую функцию и исследовать ее на экстремум. Собственно именно так и выглядели задания С2 демонстрационного и тренировочного вариантов ЕГЭ-2004. Однако обсуждения предложенного демонстрационного варианта и результаты апробаций показали, что, либо модель текстовой задачи должна быть примитивной и тогда получается задание недостаточно высокого уровня сложности, либо следует отказаться от хоть сколько-нибудь развернутой текстовой задачи. Дело в том, что даже сравнительно небольшие усилия по составлению нужной функции по описанной в тексте ситуации даются выпускникам с трудом. Поэтому был выбран путь, на котором математическая модель уже была составлена, т. е. включена в условие задачи. Общая идея состояла в рассмотрении движения точки по участку графика функции у = у(х) и нахождении экстремальных значений площади или периметра прямоугольника (иногда, треугольника), так или иначе связанного с этой точкой.
