Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
X + 13 = а і а - 6, (х + 13)2 = а3 - 6а2, у = 40(х + 13) - (х + 13)2 - 388 = -х2 + Ux + (520 - 169 - 388) = =-37 + 14Х-Х2 = 12-(х2-14х + 49) = 12-(х-7)2. По условию числа х и у являются решениями исходного неравенства, т.е. принадлежат множеству (6; 8] U [12; +сю).
3) Точка (7; 12) — вершина параболы у = 12 - (х- 7)2, ветви которой направлены вниз.
Если XЄ [12; +сю), то у < г/( 12) = -13, т.е. у не принадлежит множеству (6; 8] U [12; +сю).
Если X Є (6; 7) U (7; 8], то 11 = у(6) = у{S) < у < у{1) = 12, т.е. у не принадлежит множеству (6; 8] U [12; +сю). Если х = 7, то у = 12, т.е. и число X1 и число у являются решениями исходного неравенства.
177
4) Итак, число а удовлетворяет условию задачи, только если X - а^а - 6 - 13 = 7. Число а = 10 — корень уравнения a*\/a - 6 = 20. Других корней нет, так как при возрастании а > 6 возрастают множители а и "j/o — 6 > 0, и поэтому возрастает их произведение а i/o - 6.
Ответ: 10.
Как мы видим, для решения задания такого уровня сложности нужны и решения неравенств (§ 3), и тождественные преобразования выражений (§ 2), и исследование элементарных функций (настоящий § 4).
Аналогичным образом, и в заданиях С5 на ЕГЭ-2007 проверялись, как умения производить тождественные преобразования, так и умения решать обычные, алгебраические уравнения, так и навыки решения уравнений функционально-графическими методами.
Пример 8. Докажите, что система уравнений 8*3+18*2 + 15*+14 = 0, < (10 + Axf - 2 = у (S +1) + 7*+*-і/ 16*(* + I)2 + 40х2 + 89* + 49
имеет хотя бы два различных решения. Решение:
1) Преобразуем подкоренное выражение во втором уравнении системы:
16*(* + I)2 + AOx2 + 89х + 49 = 16*3 + 72*2 + 105* + 49.
Число X = -1 является корнем, так как -16 + 72-105 + 49 = 0. Поэтому двучлен (х + 1) можно выделить множителем. Например, методом группировки:
16*3 + 72*2 + 105* + 49 = 16*2(* + 1) + 56*2 + 105* + 49 = = 16*2(*+ 1) + 56*(* + 1) + 49* +49 = (х+ 1)(16*2 + 56* + 49) =
= (*+1)(4* + 7)2. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно, т.е.
7
X = — — или * > -1.
4
2) Исследуем функцию /(*) = 8*3 + 18*2 + 15* + 14. Найдем производную:
178
f\x) = 24x2 + 36x+ 15. Так как 24 > О и -j = 182 - 24-15 < О, то f\x) > 0 для всех х.
Значит, функция f(x) = 8х3 + 18х2 + 15х + 14 возрастает и поэтому первое уравнение системы имеет не более одного корня. Проверим, 7
что # = — — является его корнем:
8 73 18-72 15-7 iA _ 7(-49 + 63-30+ 16) _ п 64 + 16 4 + 14 " 8 и*
Поэтому, система может иметь решения только при X = — -j.
3) Тогда 10 + Ax = 3, у [s + = у и второе уравнение системы имеет вид
3*-2=у, 3* = г/ + 2.
Число г/і = 1 является его корнем.
Если у = 0, то 3^ < г/ + 2, а если
у = -2, то 3^ > 0 = у+ 2,
Так как обе части изменяются непрерывно, то уравнение имеет корень у2 Є (-2; 0).
Значит, система имеет хотя бы два различных решения -^-; 1 j и
Исследование функций было существенно в заданиях СЗ в ЕГЭ-2006. Так же, как и ЕГЭ-2004 было решено включить задание на нахождение экстремальных значений тех или иных числовых характеристик плоских фигур. Вообще, задания на нахождение наибольшего значения площадей многоугольников или наименьшего значения их периметра весьма типичны для практико-ориентированных заданий, демонстрирующих возможности исследования функций с помощью производной. Такие задачи есть во всех учебниках старшей школы. В ЕГЭ-2006 было решено несколько усложнить эти стандартные ситуации, перейдя к невыпуклым многоугольникам, добавив при этом некоторые ограничения возможных размеров их сторон.
179
G
H
I
i
L
K
F у''I
C
M
Пример 9. Требуется разметить на земле участок площадью 1800 м2, состоящий из трех прямоугольных частей и имеющий форму, изображенную на рисунке, где FG = EF= 10 м, ВС = 15 м и CD > 40 м Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин KL1 LH и CD1 при которых периметр является наименьшим
Решение.
1) Площадь участка ABCDEFGH равна S = 1800, а его периметр равен периметру P прямоугольника KLHA Обозначим KL = X1 LH = у и CD = z Тогда P = 2 {х + у), z > 40 и
ху = S + EF FG + BCz> 1800+ 10 10+ 15 40 = 2500 2500
В
Поэтому у >
и P > 2
(х
+ 2500j 2500
, X > 0 с помощью произ-
50'
2) Исследуем функцию f(x) = X + водной
/(,)=1-^ = -3-,
/V) = 0 при X = 50, f\x) < 0 при 0 < X < 50, /'(*) > 0 при X > 50 Поэтому наименьшее значение функция принимает в точке *о = 50 /наим = /(50) = 100. Следовательно, P > 2/наим = 200
3) Если участок ABCDEFGH таков, что х = 50 и z = 40, то jo/ = 2500, г/ = 50 и для такого участка выполнено равенство P = 200 Таким образом, Рнаим = 200
Ответ. 200 м, 50 м, 50 м, 40 м
Заметим, что в пункте 2) решения можно обойтись и без производной, воспользовавшись неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел*
X +
2500
> 2ух-
2500
= 100,
причем равенство достигается при х
2500
, т.е при X = 50 Кроме
того, пункт 3) решения можно не оформлять отдельно, если в пункте 1) сразу заметить, что для наименьшего значения P будет выполнено
