Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Денищева Л.О. -> "Единый государственный экзамен 2009. Математика. " -> 49

Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.

Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Рязановский А.Р., Семёнов П.В. Единый государственный экзамен 2009. Математика. — М.: Интеллект-Центр, 2009. — 272 c.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка): mathekzege2009.djvu
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 68 >> Следующая

ZC
треугольника ABC следующими соотношениями: ZAJB = -у- + 90°,
ZAJC = ^ + 90°, ZCJB = ^г + 90°.
• Если треугольник ABC — прямоугольный и ZC = 90°, то угол AJB между биссектрисами его острых углов равен 135°; четырехугольник CLJN — квадрат, сторона которого равна г (радиусу вписанной окружности), а гипотенуза AB треугольника связана с катетами a = BC1 b = AC и радиусом г вписанной окружности следующим соотношением AB = с = (а + Ь) — 2г. Отсюда
а + Ъ - с г =-o-.
Пример 8. Основание равнобедренного треугольника равно 36. Вписанная окружность касается его боковых сторон в точках А и P1 AP =12. Найдите периметр этого треугольника.
197
Решение. 1) Пусть BCF — равнобедренный треугольник с основанием BF. Проведем высоту CH. Тогда BH = HF и BF = = 2BH = 36. Следовательно, FH=BH= 18. Тогда по свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки,
AB = BH = HF=FP= 18.
2) Поскольку CH — ось симметрии треугольника BCF1 то центр вписанной окружности лежит на CHy a AB = FP. Следовательно, точки A vi P симметричны относительно прямой CH и поэтому AP Il BF. Значит, треугольники ACP и BCF подобны. Отсюда следует, что треугольник ACP равнобедренный и AC = СР.
3) Пусть AC = х. Из подобия треугольников ACP и BCFследует:
4^г = 4if- Отсюда получаем: —J^75- = 41*, значит, х = 9. Поэтому,
X)C .D .г Л? + Io OO
ВС = CP = х4-18 = 27. Следовательно, искомый периметр треугольника BCF равен BF+ 2BC = 36 + 54 = 90. О т в е т: 90.
Пример 9. В пирамиде KABC ребро KB к перпендикулярно плоскости основания. Угол между плоскостями ACK и ABC равен 45°, ZACB = 90°, AB = 13, AC = 12. Найдите высоту пирамиды.
Решение. 1. KB LABCy КС — наклонная, ВС — проекция КС. Так как BCLACy то КС LAC (теорема о трех перпендикулярах).
2.BCLAC и KCLACy следовательно, ZBCK — линейный угол двугранного угла при ребре AC1 поэтому ZBCK = 45°.
3. В треугольнике ABC ВС2 = AB2-АС2, т. е. ВС = 5.
4. KBLABCy следовательно, KB — высота пирамиды и KBLBC Так как ZBCK = 45°, то KB = BC = 5.
Ответ: 5.
198
Пример 10. Диаметр основания конуса равен 6 м, образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь описанной около конуса сферы.
Решение с комментариями. 1. Пусть С — вершина конуса, О — центр его основания, ACB-осевое сечение конуса. Поскольку образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 60° и СО —высота конуса, то прямая AB — проекция прямой CA на плоскость основания конуса. Следовательно, ZCAB равен углу между образующей конуса и площадью его основания. Поэтому ZCAB = 60° и равнобедренный треугольник ABC — правильный. Отсюда следует, что CA = AB = ВС = 6 м.
2. Найдем положение центра сферы, описанной около конуса. По определению такой сферы, окружность основания конуса — сечение описанной сферы и вершина конуса лежит на этой сфере. По свойству диаметра сферы, проходящего через центр любого ее сечения, прямая СО перпендикулярна плоскости основания конуса и поэтому центр O1
, описанной сферы лежит на прямой СО. Отсюда следует, что центр O1 сферы, описанной около конуса, есть центр окружности, описанной около его осевого сечения.
3. В правильном треугольнике ABC
А Найдем площадь сферы: S = AnR2 = 4^(2^3") = 48л (м2). Ответ: 48л.
Пример 11. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны
Y^ и образуют угол, равный 120° Найдите объем пирамиды, если все
боковые ребра равны
Решение с комментариями. Пусть основание ABC пирамиды DABC есть равнобедренный треугольник
ABC1 в котором AB=AC = Yf1 ZBAC=YlW. По условию DA = DB = DC = ]/110. Вычислим объем этой пирамиды.
199
Объем пирамиды находим по фррмуле V - -oSABC-h, где h - DO —
о
высота пирамиды.
Из условия задачи следует:
Осталось найти высоту DO пирамиды.
Это ключевой момент. Здесь решающую роль играет следующее свойство пирамиды, имеющей равные боковые ребра.
А именно, если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то проекцией вершины пирамиды на плоскость основания является центр окружности, описанной около этого основания.
Это свойство пирамиды, имеющей равные боковые ребра, является следствием теоремы о проекциях равных наклонных:
если наклонные, проведенные из одной точки к некоторой плоскости, равны, то равны и их проекции на эту плоскость.
Так как DA = DB = DC1 то проекции этих ребер на плоскость основания ABC пирамиды равны. То есть OA = OB = ОС. Следовательно, точка О находится на одинаковых расстояниях от вершин треугольника ABC1 т. е. является центром окружности, описанной около основания пирамиды.
Рассмотрим треугольник ABC Нам требуется найти радиус R описанной около него окружности. Проще всего это сделать по теореме синусов, используя следующую формулировку:
в каждом треугольнике — отношение стороны к синусу противоположного угла равно диаметру окружности, описанной около этого треугольника.
В данном случае = 2R. По условию AB = yz, ZA = 120°.
AABC — равнобедренный, поэтому ZB = ZC = 30°.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника DOA имеем: DO2 = DA2-A02 = 110-2 = 108. Отсюда DO = т/1081 = i/36-З = б/З.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 68 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed