Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Sabc = jAB-ACsinA = уУ?. ¦/21Sb 120° =
Итак, 2 R
Окончательно получаем V = -^SABC-h = у O т в е т: 3.
200
Пример 12. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки C1 D1 и середину ребра AA1 проведена секущая плоскость. Найдите площадь сечения, если ребро куба равно 4.
¦А
Al M
-LTL---ч /
Решение с комментариями. < Прямые CD1 и MI лежат как в плоскости сечения, так и в параллельных плоскостях противоположных граней куба, поэтому CD1 WML. Так как CD1 * ML1 то сечение MLCD1 — трапеция.
Треугольники MA1D1 и MAT равны по катету и острому углу Отсюда следует, что AT - AxD1 — AD = 4.
Так как AL Il CD и точка А — середина DT1 то AL = 0,5CD = LB. Значит, ACBL = AD1^1M. Из равенства этих треугольников следует, что MLCD1 — равнобедренная трапеция.
При этом CD1 = 4-(/21, MZ = 2 уТ, CL = MD1 = 2^.
Таким образом, задача сводится к нахождению площади равнобедренной трапеции по известным ее сторонам.
Решение ее основано на следующем простом и полезном факте. Пусть в равнобедренной трапеции основания LM = я, CD1 = Ъ. Тогда, проведя высоту LH1 найдем два полезных соотношения:
CH
-,HD1
Ь + а
Ь + а
D1
2 ' 1 2 ' Заметим, что отрезок HD1 вен средней линии трапеции!
Ь + а
ра-
Вернемся к нашему случаю: CH = —
перь находим высоту трапеции: LH2 = CL2 этому
4-1/2Г-2-1/2Г = 2
г2
CW = 20
уТ Te-
2 = 18. По-
„ LM+CD1 Окончательно получаем. S =-^--LH = 18.
Ответ: 18.
201
Рассмотрим типичные задания по стереометрии ЕГЭ 2004 года из части 2.
Пример 13. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC, AC= CB = Y^-Плоскость ABC1 наклонена к плоскости основания под углом 60° Найдите объем призмы.
Решение. 1) Пусть CD — высота основания ABC Так как AC = CB, то CD — медиана. Значит, C1D — медиана треугольника AC1B. Но треугольник AC1B равнобедренный, поскольку CC1J-ABC и проекции CA и CB наклонных C1A и C1B равны. Следовательно, DC1- высота треугольника AC1B. Значит, угол CDC1 — линейный угол двугранного угла с ребром AB, образованного плоскостями AC1B и ACB. Поэтому ZCDC1
2) Треугольник ACB- равнобедренный и прямоугольный. Поэтому его высота CD = = ^т=т = Y^ - Высоту CC1 призмы найдем
у 2 у 2
из прямоугольного треугольника C1CD. Получим
CC1 = CD IgZCDC1 = і/З"- tg60° = 3.
3) Площадь основания призмы вычисляем по формуле S = ^AC СВ. Получаем: S = -^Y^'Y^ = 3. Отсюда объем призмы V=SCC1 = 33 = 9.
О т в е т: 9.
Пример 14. Основанием прямой призмы является параллелограмм, стороны которого равны 3 и 8, а угол между ними 60°. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что площадь ее меньшего диагонального сечения равна 70.
Решение. 1) Пусть ABCDA1B1C1D1 — прямая призма и ее основание параллелограмм AB CD, в котором AB = CD = 8, ВС = AD = 3, ZBAD = 60°. Отсюда BD — меньшая диагональ основания и, значит,
60°.
202
: + 9-2-8.3cos60° = 49.
BDD1B1 — меньшее диагональное сечение, а его площадь
Sd = BDBB1 = 70, где BB1 — высота призмы.
2) По теореме косинусов в треугольнике ABD имеем
BD2 = AB2+AD2-2ABADcos{ZBAD) Значит, BD = 7 и BB1 = 10.
3) Площадь боковой поверхности призмы находим по формуле 5бок = 2 {AB + BC)BB1. Получим 5бок = 2 (8 + 3)-10 = 220.
От вет: 220.
Пример 15. Концы отрезка AB лежат на окружностях оснований
цилиндра. Высота цилиндра равна 12¦/IT, радиус основания равен 10, а угол между прямой AB и плоскостью основания цилиндра равен 60°. Найдите расстояние между осью цилиндра и параллельной ей плоскостью, проходящей через точки А и В.
Решение. 1) Пусть A1 и B1 — проекции точек А и В на соответственно противоположные им основания цилиндра, точки О и O1 — центры оснований. Тогда
AA1IIBB1IIOO1, AA1 = BB1.
Поэтому AA1BB1 — прямоугольник, угол BAB1 — угол между прямой AB и плоскостью основания цилиндра, а плоскость А ABB1 Il 0O1. По условию ZBAB1 = 60°, BB1 = 12 Отсюда AB1 = BB1 ctg60° = 12.
2) Пусть OD — высота треугольника AOB1 Так как плоскость основания цилиндра перпендикулярна плоскости ABB11 то OD _L ABB1 и, значит, длина OD равна искомому расстоянию между осью цилиндра и плоскостью ABB1.
3) Треугольник AOB1 — равнобедренный. Поэтому OD — медиана треугольника AOB1 и AD = 0,5,AB1 = 6. Так как Л О — радиус окружности основания цилиндра, то АО = 10 и по теореме Пифагора
В
-I—
/1 I ¦ J-+^r----.
O T в e т: 8.
OD = У OA2-AD2 = i/100-Зб = 8.
203
Решите самостоятельно
1. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6 м, большее — 12 м, угол при основании — 60°. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.
2. Стороны треугольника равны 12 м, 16 м и 20 м. Найдите его высоту, проведенную из вершины большего угла.
3. В прямоугольный треугольник вписан квадрат, имеющий с ним общий угол. Найдите площадь квадрата, если катеты треугольника равны 10 м и 15 м.
4. Периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности — 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.
5. Основания трапеции равны ЮмиЗІм, а боковые стороны — 20 м и 13 м. Найдите высоту трапеции.
6. Основание равнобедренного треугольника равно 30 м, а высота, проведенная из вершины основания, — 24 м. Найдите площадь треугольника.
