Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Если -1 < а < Ъ, то при любых х числитель а -/(х) отрицателен, а знаменатель а — g(x) положителен или равен нулю. Тогда частное
а или не положительно, или не определено, т.е. неравенство
а _ f(x)
_ v, : > 0 решений не имеет.
а, — g\X)
Ответ: [-1-,2-^-5).
184
Приведем задание аналогичной конструкции (с заменой показательной функции на логарифмическую), но с решением, основанном не на переборе случаев, а на решении совокупностей неравенств.
Пример 13. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
a-{\og3x+2Y?\ogx3-5) < (3cos]/x- 9 - 4) - а
не имеет решений. Решение.
л\ тт * a-/(log3x)
1) Преобразуем неравенство к виду —a-g(x)— ГДе
g(x) = 3cos]/x-9 -4, X > 9, /(ґ) = ^4-21/^--5, ? = log3x > 2.
2) Исследуем функцию /: ее производная / (t) = 1 - 2 у 6-^r =-р- равна нулю в точке
t0 = і/б* = у^Г > ^IfT = 2, отрицательна при 2 < t < t0 и положительна при ^ > ^0, поэтому
Лайм = A4) = l/2W + 2^'^= - 5 = 2^24 - 5.
Y2W
3) Наибольшее значение функции g достигается, например, в точке X0 = 9 и равно gHall6 = 3-1-4 = -1.
4) Так как g(x) < -1 = 2-2-5 < 2^27-5 < /(bg3x), то при любом значении х > 9 справедлива оценка g(x) < /(log3x). Поэтому при X > 9
a-f(\og3x) -и-\— ^ и
в-/(Ь&*) < О, a-g(x) < О,
« -/(log3x) > О,
185
a </(log3x),
а < g(x) <f(\og3x)
a >f(\og3x) >g(x),
a < g(x), a >f{\og3x).
\a> g(x) > O
5) Исходное неравенство не выполняется ни при одном значении X тогда и только тогда, когда gHail6 < а < /наим <=>
Обращаем внимание на то, что ответ можно записать и в виде промежутка, как в примере 12, и с помощью двойного неравенства, как в примере 13: жестких ограничений тут нет.
удалили все целые числа. Сколько получилось числовых промежутков?
Указание. Множество значений функции, стоящей под знаком aresin, найдите так же, как и в Примере 1. Далее используйте сведения о множестве значений функции aresinx.
2. Найдите наибольший член числовой последовательности
Указание. Раскройте скобки, получите квадратичную функцию натурального аргумента. Сравните значения в целых точках, ближайших к абсциссе вершины параболы.
3. К десятичному логарифму произвольного положительного числа X прибавляется расстояние от этого числа до 45. При каких х эта сумма равна 57?
Указание. Рассмотрите функцию f(x) = lgx + |х-451 и используйте пример 3.
-1 < а < 2^24-5.
Ответ: -1 < а < 2|/2?-5.
Решите самостоятельно
1. Из множества значений функции
186
4. Найдите количество всех целых чисел, принадлежащих множеству значений функции Дх) = 7-у 22*-1 - 0,25-16*.
5. Из модуля целого числа, умноженного на 25, вычли полтора квадрата этого числа. Найдите наибольшее значение разности.
6. Решите уравнение х + 1 = ех + х3-|/х.
7. Решите уравнение 32sinx + | cos4x - 4cos2x - 811 = 108. Указание. Приведите уравнение к виду:
8sinx+|2sin4x-21| = 27.
После замены t = sinx получите 8t + |2?4-21| = 27, причем te [—1; 1]. Далее действуйте, как в Примере 3.
.X
X X' 4
8. Найдите множество значений функции у = 2 + . . при
i х\
X < 3.
9. Найдите множество значений функции
У = bg2 ( r7=J=^—). \УУПІЇГ+9 +1/
10. Найдите наибольшее значение периметра прямоугольника со сторонами параллельными осям координат и с диагональю ОМ, где О —начало координат, a M — точка на графике функции
у = 4ln(5 - 2х) + Зх, 0,8 < х < 1,8.
11. Точка А лежит на графике функции у = /(х), точка В — на оси Ох, и ее абсцисса равна ординате точки А. Найдите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где точка О — начало координат, a f(x) = "|/4х- 2 sin 2х- 9 cosx 4-12 и -^- < х < -—^-.
12. Точка Л лежит на графике функции у = Дх), точка Б — на оси Ох, и ее абсцисса в 2 раза больше ординаты точки А. Найдите наименьшее значение площади треугольника ОАВ, где точка О — начало координат, а Дх) = "|/2х- sin2x- 7cosx + 13, -^- < х < -Ц^-.
187
13. Требуется разметить на земле участок площадью 3100 м2, который состоит из трех прямоугольных частей и имеет форму многоугольника ABCDE-GHMf изображенного на рисунке, где BC= CD = 20 м, GH = 40 м и HM > 35 м. Найдите наименьшее значение периметра такого участка и какие-либо значения длин AK1 AL и HM1 при которых периметр является наименьшим
14. Найдите все значения я, при каждом из которых оба числа а 2а~А и a2.4fl"4+104-5a 2й"2
ства log10,5-*(log2f5f) > 0
являются решениями неравен-
15. Найдите все значения я, при каждом из которых оба числа 4sin<2^-3 и 8cos2a 4- 16sin<2 + 1 являются решениями неравен-
ства
(21х-2дг2 + 65)т/х+7 log3| дг-9| — 2
0
16. Даны два уравнения:
У(68- 12р)х+60^-275 = 2х + 2р - 9
и(з + 2^) =21-х. Значение параметра р выбрано так, что р Ф 3 и число различных корней первого уравнения в сумме с числом 4 - р равно числу различных корней второго уравнения. Решите второе уравнение при всех значениях параметра, выбранных таким образом
17. Найдите все корни уравнения 6х3 + 28х2 4- 39* 4-15 = 0, при подстановке каждого из которых в уравнение
51og10+3,(t/ + 8 + |)-3^(13+46x)j/+]/f-3x(7 + 3x) + 5-In(t/ + 5) получится уравнение относительно г/, имеющее более одного корня.
