Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Решение. g{YT) = log3(l6 - (1/7 )2) = log3(16 - 7) = log39 = 2. О т в e т: 2.
Пример 3. На рисунке изображен график производной функции у = f\x), заданной на отрезке [-2; 10]. Исследуйте функцию у = f(x) на монотонность и в ответе укажите длину промежутка возрастания.
Решение. Функция у = f(x) возрастает на промежутке, где ее
производная у = f\x) положительна, т. е. график производной расположен выше оси абсцисс. Это выполняется на интервале (0; 8). Данная функция непрерывна, значит, возрастает и на отрезке [0; 8]. Следовательно, длина промежутка возрастания функции у = f(x) равна 8.
Ответ: 8.
і і*
1.
iu
I 1 I X
I У= Г (X) I I I I
Пример 4. Функция у = f(x) определена на промежутке (а; Ь). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число точек максимума функции у = f(x) на промежутке (а; Ь).
Решение. Точка X0 является точкой максимума функции, т. к. производная функции в точке X0
і і
X
L
\ і А
а I
I л 0 1 . ъ X
I /
і /
/ і і і і
150
равна нулю (/Vo) = 0)> слева от X0 положительна, а справа отрицательна. На заданном рисунке таких точек только одна (х0 = -2). Ответ: 1.
Пример 5. Найдите значение функции у = ?\х\ ~ *?\~Х\ в точке
x0l если известно, что функция у = Дх) — четная, функция у = g{x) — нечетная, Дх0) = 5, g(x0) = 1.
Решение. Так как функция у = Дх) — четная, то по определению для любого значения из области определения функции выполняется равенство Д-х) = Дх). Следовательно, Д-х0) = Дх0) = 5.
Так как функция у = g(x) — нечетная, то по определению для любого значения из области определения функции выполняется равенство g(-x) = -g(x). Следовательно, g(-x0) = -g(x0) = -1.
Подставив заданные и полученные значения функций в формулу, имеем:
_ 3/(X0) -2/(-х0) 3-5-2.5 1 У 2g(x0)-3g(-x0) 2-1-3-(-1) А-
Ответ: 1.
Пример 6. Найдите наибольшее целое значение функции у = ~y4cos2x + 4 cosx + 8'.
Решение. Пусть cosx = t, где -1 < t < 1. Тогда подкоренное выражение принимает вид At2 + 4ґ + 8. Преобразуем этот многочлен, выделив полный квадрат двучлена: (2ґ+1)2 + 7. Функция g(t) = (2ґ+ 1) + 7 непрерывна и при -1 < t < 1 принимает все значения из промежутка [7; 16]. Следовательно, функция z = Yg принимает все значения из промежутка J^yT; 4^. Значит, наибольшее целое
значение функции у = ^ Y4cos2 х + 4 cosx + 8, равно 9. О т в е т: 9.
Пример 7. Укажите наибольшее целое число из области определения функции у = ln(35 - I Зх- 111).
Решение. Областью определения логарифмической функции является промежуток (0; +оо), значит, 35 - |3х- 111 > 0.
151
Решим неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, используя геометрическую интерпретацию «модуля разности».
35 — IЗдг — 111 > 0 <=> IЗлг — 111 < 35 <=> 11-35 < 3* < 11+35. 35 35
-24 11 46 *
-24 < Зх < 46 <=> -8 < X < 15-|.
Наибольшим целым числом из области определения является число 15.
Ответ: 15.
Пример 8. Укажите наименьшее значение функции У = 4-/3 sin^-|-),
если х€ I -у L
Решение. Если аргумент х удовлетворяет условиям 4г < X < 4т-,
D 4
то Щ- < * - ~ < 4р На промежутке 4pJ функция г/ = 4 Уз" sin? убывает, а, значит, наименьшее ее значение будет при t = х — = 4^-. Найдем это значение:
о о
4^SiHf = 4!^.(-SdIIf) = -ЩэИ = -6. Ответ: -6.
Пример 9. Укажите наибольшее значение функции у = 2 - log8(2~*) на отрезке [-3; 6].
Решение. Упростим выражение, стоящее в правой части формулы,
задающей функцию: 2 - log8(2~*) = 2 + xlog82 = 2+х~ = у* + 2.
Получаем линейную функцию: у = -^x +2. Эта функция воз-
растает на /?, т. к. k = > 0. Значит, наибольшее значение функция принимает при х = 6.
г/(6) = {.6 + 2 = 4.
О т в е т: 4.
152
Пример 10. Функция у = Дх) определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5. При -1 < X < 4 она задается формулой Дх) — Xі - Ax + 1. Найдите значение выражения 5/(15)-2/(-7).
Решение. Представим число 15 в виде пТ+а, где T = 5 — период функции, TiZZ1 вє(—1;4], тогда по определению периодической функции /(15)=/(о). Так как 15 = 3-5 + 0, то /(15)=/(0). Поскольку на промежутке -1 < х < 4 функция задана формулой
f(x) = х2-4х + 1, то /(0) <= О2 - 40 + 1 = 1. Итак, /(15) = 1. Аналогично получаем: /(-7) = /(2-(-5) + 3) = /(3) = З2 - 4-3 + 1 = -2.
Следовательно, 5/(15) - 2/(-7) = 5-1 -2-(-2) = 9.
Ответ: 9.
Отметим, что на заданном промежутке функция может быть представлена графиком, или могут быть даны конкретные значения функции. Алгоритм решения остается прежним.
Решите самостоятельно Найдите значение функции №№ 1—2.
|| sinx-2|, если |х| > 1, п
1. Дх) = ^ , , ^ ПРИ * = T-
I cosx, если |х| < 1 z
f 16* -19|, если 1*1 > 2,
2. g(x) = < . при X = -3.
log3|x|, если |х| < 1
3. Найдите наименьшее значение функции Дх) = 22х~1 на промежутке [-3; 1].
4. Найдите наибольшее значение функции g(x) = log0>5(x2 - 9) на промежутке [5; 7].
