Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Функция у = \х\ убывает на промежутке (-оо; 0] и возрастает на промежутке [0; +оо).
Функция у = к~х — показательная, т. к.
К-* = K-* * = (К-*)* = ^J. 1 / 1 \*
Т. к. — < 1, то функция I — J (а значит, и функция к~х) убывает
на всей области определения. О т в е т: 4.
136
Решите самостоятельно 51. Какая из функций, заданных графиком, убывает на отрезке [а; Ь]?
D
і \У
1- J
і г I N ~ь /
а \ 0 X
ч I
у = У (X )
і і і
I I I
3)
і \У
ft
і і
~ а і
0 1 ъ X
4)
і г 'Л
I
і- Г.
а ,/ I
о1 і X
І
\
\
52. Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.
1) у = X3; 2) у = ctgx; 3) у = cosx; 4) у = \-х\.
53. Укажите функцию, убывающую на отрезке у]-
1) у = sinx; 2) у = cosx; 3) у = е~х\ 4) у = \х\.
54. Функция у = f(x)t задана графиком на отрезке [—1; 4]. Укажите промежуток, на котором эта функция возрастает. I)[O; 1]; 2) [1; 2];
3)[-1;2]; 4)(-1;0).
і
і
0 і і
_ 1_ і X
I X
137
55. Функция задана графиком. На каком из указанных промежутков она возрастает?
1) [1;4]
2) [2; 5]
3) [0; 5]
4) [-2; 1]
і \У
S
\
1- \ I
\ I
0 1і J X
/
J
56. Функция задана графиком. На каком из указанных промежутков она убывает?
і)[-
2)[-
3)[-4
-3]
0]
1]
4) [1;5]
f \
J ' 1 \
/
—( N- S 0 L X
57. На каком из следующих рисунков изображен график функции, возрастающей на промежутке [—1; 2]?
і)
\У
\
> L /
V /
1 \ /
J
0 і [ X
J
2)
[ J
\ / V
\ \
\ . 1 \
I
0 X
4)
[У
/ \
і f У у
/ /
/ 0 \i У X
а \ /
138
58. На каком из следующих рисунков изображен график функции, убывающей на промежутке [3; 7]?
Максимум, минимум функции Пример 10. Найдите точки максимума функции Дх) = х3 — Зх2.
1)0; 2)2; 3)-2; 4) ±
Решение. Производная данной функции — многочлен Зх2 - 6*, значит, она определена во всех точках и обращается в нуль в точках X = 0 и X = 2. В точке 0 производная меняет знак с плюса на минус, в точке 2 — с минуса на плюс. По признакам точек максимума и минимума функции получаем, что точка 0 является точкой максимума, а точка 2 — точкой минимума функции Дх) = х3 — Зх2.
Ответ: 1.
Пример 11. По графику производной у = h\x) функции у = h{x)y изображенному на рисунке, укажите точку минимума функции у = h(x) на промежутке (а; Ь).
1)-1; 2)0; 3)1; 4)3.
139
іУ
I і
I x' о I
-С г -1 _: L_ 3- - X
Г
У = h\x)
I I
Решение. Производная у = h\x) функции у = h(x) определена во всех точках промежутка (а; Ь) и обращается в нуль в точках — 1 и 3. В точке -1 производная меняет знак с плюса на минус, а в точке 3 — с минуса на плюс. Следовательно, по признакам точек максимума и минимума получаем, что точка 3 — точка минимума функции у = h(x).
О т в е т: 4.
Решите самостоятельно
59. Найдите точку минимума функции у = х2 — 1. 1)0; 2)-1; 3)1; 4)0,5.
60. Найдите точку максимума функции у = 4х-хА. 1)0; 2)-1; 3)1; 4)-2.
61. На рисунке изображен график производной у = f\x). Найдите точку максимума функции у = f(x).
.25
-3 / 1-
\ Л
I -1 0I x
I I
1)-3; 2)-1; 3)2; 4)1.
Нули функции
Пример 12. Найдите нули функции у = log2(2x- 3).
1)1,5; 2)2; 3)2,5; 4)0.
Решение. Нуль функции — это значение аргумента, при котором значение функции равно нулю. Решим уравнение
140
log2(2x-3) = 0;
2x-3 = 2°; 2x-3 = 1;
2x = 4;
X= 2.
Итак, функция обращается в нуль в точке 2. О т в е т: 2.
Пример 13. По графику функции у = Дх), изображенному на рисунке, найдите все нули функции.
і \У
1-
0
а4 S 44 X
N
\
>
1)-2 и 4; 2)-2и0; 3)-1 и 4; 4)-2и-1. Решение. Нули функции — абсциссы точек пересечения графика с осью Ох. На рисунке это точки -2 и 4. Ответ: 1.
Решите самостоятельно
62. Какое из чисел
2; 3' б;
5я і
--g- является нулем функции
у = sin
2)f;
3)
6'
4)
5л 6 *
63. Найдите нули функции г/ = •
1)0; 2)1;
3)0,5; 4)-1.
64. Найдите число нулей функции у = (х - 1) \g(x2 - 2х - 2). 1) один; 2) два;
