Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
3) три; 4) ни одного.
141
Промежутки знакопостоянства
Пример 14. Найдите все значения аргумента, при которых функция у = log05(6x — 1) принимает положительные значения.
*>(W <>(И>
Решение. Слова «функция принимает положительные значения» означают, что log05(6x — 1) > 0. Решим это неравецство:
log0>5(6x- 1) > log0>5l. Т. к. 0,5 < 1, то функция у = log0>5? убывает, поэтому полученное неравенство равносильно неравенству 6х - 1 < 1 при условии 6х - 1 > 0 (область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел). Итак,
Гбх-1 > 0, [6х-1 < 1,
1 ^ ^ 1 то есть g- < X < .
О т в е т: 4.
Пример 15. На рисунке изображен график функции у = /(х), заданной на отрезке [—1; 5]. Пользуясь графиком, найдите все значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.
\У
\
1"
\ 3
0 I V X
\
\
1)(-1; 0); 2) (0; 1); 3) [-1; 1); 4) (1; 3).
Решение. Значения функции — это ординаты точек ее графика. Точки с положительными ординатами расположены над осью Ох. Абсциссы этих точек составляют промежуток (-1; 1).
О т в е т: 3.
142
Решите самостоятельно
65. Найдите все значения аргумента, при которых функция
у = х|/16 — X принимает положительные значения.,
1) (0; +оо); 2) (0; 16); 3) (0; 2); 4) (-оо; 16).
66. На рисунке изображен график функции у = Дх), заданной на отрезке [-3; 7]. Пользуясь графиком, найдите все значения аргумента, при которых функция отрицательна.
1-
/ ч ч
0 / 2; 7 X
/
/
/
1)(-3;0); 2) (0; 1); 3) (0; 2); 4)[-3;2).
67. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором функция принимает только отрицательные значения.
1) (-3; -2) 2) (-3; 0) 3)(1; 4) 4)(1; 6)
68. Функция задана графиком. Укажите промежуток, на котором она принимает только положительные значения.
1) (0; 5) 2) (-5; 0)
3) (-2; 2) 4) (-5; 4)
143
Производная и первообразная функции Пример 16. Найдите производную функции у = 5х2 sinx. 1) у' = 1Ox cosx 2) у' = 1Ox sinx + 5х2 cosx
3) у' = 1Ox sinx - 5х2 cosx 4) у' = 1Ox cosx + 5х2 sinx Решение. Данная функция является произведением двух функций: у = 5х2 иг/ = sinx Используя правило дифференцирования произведения функций, получаем:
у' = (5х2)'-sinx + 5х2-(sinx)'; у' = 1Ox sinx + 5х2 cosx. Это ответ № 2. Ответ: 2.
Пример 17. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = Ix - 5 sinx в точке с абсциссой X0 = Щ.
1)^-; 2)2; 3) 3,5л-5; 4)7.
Решение. Угловой коэффициент касательной к графику функции у = /(х) в точке с абсциссой X0 равен значению производной этой функции в данной точке X0. Найдем производную данной функции: у' = 7 — 5cosx. Вычислим ее значение при заданном значении
аргумента: у' = 7 — 5cosy = 7 — 5-0 = 7.
О т в е т: 4.
Решите самостоятельно
69. Найдите производную функции у = 9 - 9д^ - -^x5.
1) у' = 9x-x9-jx6 2)у' = 9х-72х7-5х*
3) у' = -72л:7 - 6xi У'=- Пх7 - 6х*
70. Найдите производную функции у = 8 - 5Х4 + -g-х6. 1) у' = -2Ox3 + 7х5 2) у' = 8х - 2Ox5 + 7х7 3) у' = 8х - X5 + -U7 4) у' = -2Ox3 + 7х4
71. Найдите производную функции у = Зх2 cosx.
1) у' = -6х sinx 2) yr = 6х cosx - Зх2 sinx
3) у' z=z X3 cosx + Зх2 sinx 4) у' = 6х cosx + Зх2 sinx
144
72. Найдите производную функции у = -3,6х2 cos*.
1) г/' = -7,2х cosx + 3,6х2 sinx 2) г/' = -7,2х cosx - 3fix2 sinx 3) у' = -l,2x3 cosx + 3,6x2 sinx 4) г/' = 7,2x sinx
73. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = -0,5х2 в его точке с абсциссой X0 = -3. 1)-3; 2)-4,5; 3)3; 4)0.
74. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = — — в его точке с абсциссой X0 = -2.
1) 1;
2) 2;
3) 0;
4)-1.
75. Найдите значение производной функции у = х2 + sinx в точке
1)л2-1; 2)2л+1; 3)2л-1; 4) 2л:.
76. Найдите /'(1), если /(х) = lnx-2cosx.
1)1; 2)-2cosl; 3)l+2sinl; 4)0.
77. Найдите /'(1), если Дх) = |- + 4е*.
1)9; 2)-5 + 4в; 3)5; 4)5 + 4е.
78. Найдите производную функции у
1) Уг - ех - х\ 3) у' = -4х;
ех-2х2. 2) у' = + 4х; 4) у1 - ех - 4х.
79. Найдите производную функции г/ 1) у' = е*-7я*; 3) г/' = е*- X6;
80. Найдите производную функции у 1) у' = ех + cosx; 2) г/'
3) у' = \е2х- cosx; 4) г/'
X8
2)у' = е* + -8>
4) г/' = хе^-1 + 7х6.
е* - sinx. в* - cosx;
е2х — cosx.
81. Найдите производную функции у = х12 + sinx.
1) у' = 12х+ cosx; 3) у' = 12хи - cosx;
2) у'
4) У':
X13
- cosx; 12хи + cosx.
145
82. Укажите производную функции /(х) = ех-(1 + sinx).
1) f\x) = + sinx - cosx); 2) f\x) = ex(l + sinx + cosx); 3) /V) = ex(l — sinx + cosx); 4) /'(x) = ex-cosx.
83. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = Зх — 2cosx в его точке с абсциссой X0 = 0.
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 0.
84. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = 3sinx+ 12х в его точке с абсциссой X0 = —у. 1)15; 2)12; 3) 1,5тс2; 4)-3-6л..
