Единый государственный экзамен 2009. Математика. - Денищева Л.О.
ISBN 978-5-89790-534-8
Скачать (прямая ссылка):
Ответ: (-0,5; 1,5] U [5; +оо).
Пример 12. Найдите все значения р, при которых уравнение
не имеет корней. Решение.
1) Все члены уравнения, содержащие х, перенесем в левую часть. Тогда 4sin3x- 7cos2x = p.
2х + 2 > 1,
log3(2x2-13x+18) > 1,
О < 2х+2 < 1,
О < log3(2x2- 13х + 18) < 1
4sin3x = р + 7cos2x
111
2) Так как cos2x = 1 - 2sin2x, то получим
4sin3x — 7(1 - 2sin2x) = р или 4sin3x + 14sin2x- 7 = p. Введем переменную t = sinx, — 1 < t < 1 и рассмотрим функцию у = 4^3 + 14ґ2 - 7, -1 < * < 1.
3) Найдем у' = \2t2 + 28t = 4t{3t+ 7). Значит, на отрезке [-1; 1] есть единственная критическая точка t = 0. Так как 2/(-1) = -4+14-7 = 3, г/(0) = -7, у(1)=11, то */наим=-7,
У наиб = И-
4) Так как функция непрерывна на отрезке [—1; 1], то Е(у) - [-7; И]. У уравнения 4sin3x- 7cos2x = р нет корней, только если р не лежит во множестве значений левой части. Значит, р не лежит в отрезке [-7; И], т.е. р Є (-оо; -7) U(Il; +оо).
Ответ:(-оо; -7) U (И; +оо).
В вариантах КИМ в 2008 году для решения заданий СЗ и С5 необходимо было использовать комбинированные умения по материалу курса «Алгебра и начала анализа». В самых общих словах, в СЗ это были решения неравенств и исследование функций, а в С5 — решение уравнений и исследование функций. Каждое из этих заданий оказалось весьма сложным для выпускников. Статистика выполнения была примерно одинаковой, около 1%. В настоящем параграфе рассмотрим задания С5, а задания СЗ будут разобраны в следующем параграфе.
Пример 13. Для чисел O1, я2> ••• аз\ верны равенства ап + { = f{an), п = 1, 2, 30. Найдите а8 + я18 + а28, если известно, что я31 = 0, а
Решение.
1) Так как я31 = 0 и <% = /(о30), то я30 — корень уравнения
2sin(0,lrcx+ 1,3л) - 2, если х > 2.
Rx) = 0.
X > 2,
Sin (0,17CX+ 1,3 л) = 1
112
Jx > 2,
1 0,1 лх + 1,3л; = 0,5л + 2ля, п Є Z
X = -4, Jx> 2,
I 0,Ix= 2гг-0,8, n?Z
X = -4, Jx > 2,
1 X = 20гг-8, w€Z
Гх = -4, ~ [х (E {12,32, 52, 72,...} Если X > 2, то /(х) = 2зіп(0,1лх + 1,3л) - 2 < 0. Если х < 2, то f{x) = 3J!+*2 =-3+ < -3 + = 4'5- Так KaK fl30 = /(«29).
то a30 < 4,5 < 12. Значит, я30 = -4.
2) Так как я30 = —4 и а30 = /(*?)» то я29 ~~ корень уравнения /W = -4.
" х< 2, Зх+12
f(x) = -4
к = -4, X > 2,
8іп(0,1лх+ 1,3л) = -1
Гх< 2,
[Зх+ 12 = -24+ 4х, Jx > 2,
1 0,1 лх + 1,3л = -0,5л + 2ля, п Є Z
X < 2, X = 36,
X > 2,
X = 2Ow-18, w€Z
X €{2,22,42,...}.
113
Так как а29 = /(*?), то а29 < 4,5 < 22. Значит, я29 = 2.
3) Так как а29 = 2 и а29 - /(я28), то a2S — корень уравнения
<=> х=0. Значит, а28 = 0.
Продолжая аналогично, получаем, что а21 = -4, а26 = 2, а25 = 0, а24 = -4, а23 = 2, а22 = 0, ... а18 = -4, ... а9 = -4, я8 = 2. Значит, а8 + а18 + а28 = -2. Ответ: —2.
Конечно, условие подобного задания С5 является принципиально новым* ровно таких задач нет в учебниках или сборниках подготовительных упражнений. Однако это не должно являться неожиданностью для выпускников, во все года проведения ЕГЭ последнее задание в варианте КИМ всегда носило характер качественно новой задачи, в той или иной степени моделирующей процесс самостоятельного исследования, см. с. 18. Следует ясно понимать, что такое ограничение есть необходимое условие составления вариантов КИМ, в соответствии с техническим заданием на их разработку.
Приведенный подход к решению практически полностью сводит ситуацию к решению уравнений вида /(х) = я, где функция у = Дх) — либо дробно-линейная, либо тригонометрическая. С функциональной точки зрения существенной оказывается только оценка сверху множества значений функции: в примере 13 все значения функции меньше 4,5. В ряде других заданий С5 «функциональная» составляющая решения оказывается более значимой. В них без ясного представления о характере изменения функции тяжело правильно оформить решение.
Пример 14. Для чисел аи а2, ... я33 верны равенства ап + 1 = /(«„), п = 1, 2, 32. Найдите <я15 - я14, если известно, что а33 = 0, а
/(х) = 2. Если X > 2, то Дх) < 0. Поэтому Дх) = 2 <=>
Зх+12 6-х
= 2
4 +
24
, если X < 4,
fix) = \
х-А
3-f + log3(
если X > 4.
Решение № 1.
Так как
х-4 /
(Х-4Ї
24
у < 0, то при X < 4 функция убы-
вает.
114
При возрастании х > 4 убывают и —, и ——--. Значит, возраста-
т з - f. 9 - log, (9 - -І). /и . , - A + lofe (9 - -&).
При неограниченном возрастании х > 4 значения /(х) приближаются к 3 + log39 = 5. Для построения эскиза ,графика найдем несколько характерных значений функции:
/(-2) = 0, /(0) = -2, /(4) = -3, /(5) = -0,2.
Итак, уравнение /(х) = 0 имеет ровно два корня х = -2их = х0, 5 < х0. Так как A33 = 0 и а33 = /(я32), то или A32 = -2, или я32 = х0.
Допустим, что а32 = х0. Тогда я32 > 5, чего не может быть, так как а32 - /(<%)> а все значения функции меньше 5. Значит, я32 = -2.
Уравнение /(х) = —2 имеет ровно два корня х = 0 и х = X1, 4 < X1. Так как а32 = —2 и а32 = /(<%), то или я31 = 0, или я31 = X1.
Допустим, что а31 = X1. Тогда я31 > 4 и так как я31 = /(я30), то а30 > 5, чего не может быть, так как я30 = /(я29), а все значения функции меньше 5. Поэтому а31 = 0. Повторяя рассуждения, видим, что
