Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
(а|У=*іп»(6/2). (236)
20. Изотропные геодезические
135
Решения уравнения (236) отличаются друг от друга началом отсчета угла ф. Мы выберем следующее решение:
Ф = 2 In [tg (?/4)], или tg (?/4) = «ф/2. (237)
Подставляя его в уравнение (235), получим
и = 1/ЗУИ + 2е*/М (еф - I)2, (238)
Вдоль этой орбиты
и-^оо и г->0, когда ф->0,
11-+(3M)'1, когда ф->оо. (239)
Именно это свойство мы и ожидали получить. Как и ранее в подобном случае, решение (239), если сменить знак ф на обратный, можно рассматривать как «продолжение» решения (231).
На рис. 9 показаны возможные типы изотропных геодезических.
M /. Конус избегания. В каждой точке мы можем построить конус избегания, образующими которого служат световые лучи, описываемые решением (231) уравнения (230) и проходящие через эту точку. Из общих соображений (ниже, в п. д, мы покажем это аналитически) ясно, что световые лучи, проходящие внутри этого конуса, должны с необходимостью пересекать горизонт и попадать в сингулярность.
Если через г|) обозначить половинный угол раствора такого конуса (раскрытого внутрь на больших расстояниях), то
ctg* =+ -|г ¦^, (240)
где
dr -(1 -2M/r)~1/2 dr (241)
есть элемент собственной длины вдоль образующих конуса. Таким образом,
, . _ j___1__dr____1__du_ /од9\
Ctg*- + г(1_2Л1/г)і/2 dq> - u(l-2Mu)1I2 <іф' 1 }
где и = Mr. В уравнение (242) мы можем подставить вместо du/dy соответствующее выражение (230). Получаем
ctg * - — (r/2M - 1)"1/2 (1 - г 13M) (1 + г/6М)1/2, (243) tg ф =__MM-D1'2_ г244)
Из последнего уравнения следует, что
^ = 3-/ЗМ/г при г~> оо, \р = л/2 при г = ЗМ, і))=-я при г = 2М. (245)
136
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
2 -
2 3
Рис. 9. Различные классы изотропных геодезических в метрике Шварцшильда: орбиты первого и второго рода; б — критическая изотропная геодезическая, для ближения к неустойчивой круговой орбите радиуса 3Af (M = 3/14 в масштабе, (M = 1/3 в масштабе, задаваемом осями координат).
20. Изотропные геодезические
137
а—изотропная геодезическая с P = 1 (см. уравнение (251)), иллюстрирующая которой орбиты первого и второго рода закручиваются по спирали по мере при-задаваемом координатными осями); в, г — орбиты с мнимыми эксцентриситетами
138
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
Таким образом, угол полураствора конуса избегания равен на больших расстояниях углу, под которым виден диск радиуса 3 >^ЗМ. Конус полностью раскрывается при г = ЗМ, при г < ЗМ конус раскрыт наружу, и он тем уже, чем ближе г к 2М, а при г = 2М все скрывается из виду (рис. 10).
Рис. 10. Конус избегания на различных расстояниях от центра.
в. Геодезические первого рода. Рассмотрим теперь случай, когда все корни кубического уравнения / (и) = 0 действительны, а два положительных корня различны. Представим корни в виде
U1 = (P — 2М — Q)IiMP «O), и2 = UP9
U3 = (P - 2М + Q)ZiMP9 (246)
где P — расстояние в перицентре, Q — постоянная, которую мы сейчас определим. Корни представлены так, чтобы их сумма была равна 1/2М (см. уравнение (226)). Следует отметить, что нумерация корней в порядке возрастания U1 < U2 < U3 приводит к неравенству
Q + P — 6М > 0. (247)
Подставляя далее в разложение
/ (и) = 2М (и — U1) (и — и2) (и — U3) (248)
корни ul9 U2 и U3 из (246) и сравнивая результат с выражением (225), получаем соотношения
Q2 = (я _2М) (P + 6M), (249)
1/D2 = (1/8MP3) [Q2 — (P — 2M)2]. (250)
Второе уравнение можно упростить, используя первое уравнение:
D2 = PV(P — 2M). (251)
Комбинируя соотношения (247) и (249), получаем неравенство
(P — 2M) (P + 6M) >(Р — 6M)2, (252)
$0. Изотропные Геодезические
139
которое после упрощения принимает вид
P > ЗМ. ' (253)
Из уравнения (251) получаем теперь новое неравенство
D>3/3M = DC. (254)
Таким образом, прицельные параметры орбит, которые мы сейчас рассматриваем, выше критического значения, приводящего к специальным решениям, полученным выше, в п. б этого параграфа. Кроме того, рассматриваемые орбиты полностью лежат вне окружности радиуса г = ЗМ.
Сделаем следующую подстановку:
и — 1/P = — [(Q — P + 6М)/8МР] (1 + cos х), (255)
или, что эквивалентно,
и + (Q — P + 2M)KMP =
= [(Q — P + 6М)/8МР] (1 — cos х). (256)-
При этом
и = 1/Р, когда X = я,
и = 0 и г -> оо, когда sin2 х/2 = ^1?? = ^n2 (Хоо/2). (257)
Подстановка (255) (или (256)) ,приводит уравнение (214) к виду
(-?")2 = WH1 - fe2sin2(X/2)L (258)
k2 = (Q — P + 6M)/2Q. (259)
Решение для ф, следовательно, выражается через эллиптический интеграл Якоби
Ф = 2 (PfQ)W IK (k) - F (х/2, Щ ], (260)
в котором начало отсчета выбрано в перицентре % = п (см. уравнения (257)). Асимптотическое значение ф при г -> оо равно
Фоо = 2 (P/Qf2 [К (k) - F (хоо/2, k)]. (261)
Значение Хоо определено в уравнении (257) (см. рис. 9, а).
I. Асимптотическое поведение фоо при P -> ЗМ и Р/ЗМ > 1. Полезно знать асимптотическое поведение ф^ при P -> ЗМ и Р/ЗМ -> оо. Найдем эти асимптотики.
