Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
_(2/r)*HL(l/r + 2v,r)} +
+ (1 Ir2) \ fy, 09 + (26i|> + 6v + 6|Ц ~ OfA3), e ctg Є + 26fA3} -
-e~2v6too = 0 (8R11 = O). (35)
Снова предположим, что возмущения имеют временную зависимость вида еш, так что в дальнейшем производную по нулевой координате, обозначаемую*, 0», заменим на множитель ia и опустим множитель еш.
Переменные г и 9 в уравнениях (31)—(35) разделяются, если
сделать, следуя Дж. Фридману, подстановки:
6V = W (г) P1 (cos Є), (36)
8ц2 = L (г) P1 (соо в), (37)
Of13 = IT (г) P1 + V(r)PltW], (38)
8я|>= IT (г) P1 + V(r)P„ectgei. (39) Заметим, что при этом
вф + 6ц8 = [2Т - I (I + I) V] P1, , (40)
вф.в + (вф — в|*^ ctg в = (Г — V) Рі.в, (41)
b%w + (2вф - 6ца),е ctgG + 26fi3 - [2 - I (I + 1)] TP1 = - 2я77>,.
(42)
Вернемся к уравнениям (31)—(35). Прежде всего, подставляя выражения (37) и (41) в уравнение (32), получаем соотношение
T-V + L = O (6#оз = 0), (43)
154
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
из которого следует, что только три из четырех определенных нами радиальных функций являются линейно независимыми. В качестве независимых выберем функции N1LnV.
С помощью уравнений (40) и (41) получаем (вместо уравнений (31) и (33)) для компонент (0,2) и (2,3) следующие уравнения:
(4f+-Г ~^r) [2T-I (I+I)V}- 2L/r 0, (44)
(T - V + N)9 г - (1/г - V,r) N - (1/r + V r)L = 0. (45)
После исключения T эти уравнения принимают вид
N1 r - L9 г = (Mr - V, г) N + (Mr + V, r)L1 (46)
L9 г + (2/г - V, г) L = - [X9 г + (Mr - V, г) X]1 (47)
где вместо V мы ввели величину X:
X = nV = V2 (/ — 1)(/ + 2) F. (48)
Подобным же образом с помощью уравнений (40) и (42) можно привести уравнение (34) к виду
(2/г) N9 r + (Mr + V, г) [2Т ~ I (I 4- 1) V], г - (2/г) (1/г + 2v, r)L--1(1+ l)e~2vr-2N - 2nr2e~2vT + gV"4v [2T - Z(I f 1) V] = 0.
(49)
После исключения T получаем
(2/г) ЛГ, r - I (I + 1) e-2V-2AT - (2/г) (1/г + 2v, r) L -
— 2 (1/г + v. г) (L + nV), r - 2nr~2e-2v(V - L) - 2a2e~iv(L + nV)=0.
(50)
Наконец, рассмотрим уравнение (35). Оно состоит из членов, содержащих P1, и членов, содержащих PltQ ctg 0. Эти члены равны нулю по отдельности в силу предыдущих уравнений. Члены с Pi9 Q ctg Э при этом дают
V9rr + 2 (1/г + V,г) V9 r + r2e~2v (N+ L)+ o2e^V = 0. (51)
Уравнение (51), как мы уже установили, не является независимым от уравнений (46), (47) и (50). Тем не менее оно окажется полезным в дальнейшем именно в такой форме.
Уравнения (46), (47) и (50) составляют систему трех линейных уравнений первого порядка для трех радиальных функций L, N и V (или X). Разрешая эти уравнения относительно производных, получаем
N9f=aN + bL+lcX9 (52)
Lr = (a-Mr + v9r)N + (b-Mr~vir)L + cX, (53)
X9 r = - (а - Mr + V1 г) N- (b + l/r-2v, r) L - (с + 1/r-v, r) X1 (54)
24. Возмущения метрики
155
где мы использовали следующие обозначения:
а = (п + 1)/(г — 2ЛГ), V г = М/г (г — 2М),
. _ 1 /2 ,__/И__AJ2 і 2 г3 ,ггч
0^" } Г — 2М + г (г —2M) + г (г — 2M)2 +G (г —2M)2' I '
--1--Ь--охг "Ь "г-4" а2
г 1 г — 2Л4 ' г (г —2M)2 ¦ (г —2М;2 '
В дальнейшем окажутся полезными также следующие альтернативные записи уравнений (47) и (54):
(L + X)9 г - - (2//- - V1 г) L - (Mr - V, г) X =
= - [г (г - 27W)J"1 [(2г - 5M) L-Hr- ЗЛ*) *L (56)
_ яг+ 3M д, Г_1___M M2 + а2г4 1 /ж , уч ,
А.г~ Г(г-2М)ІУ Lr — 2М г (г - 2M) (г — 2M)=J ^1"^1"
+ 7?^- (67)
/. Приведение уравнений к одномерному волновому уравнению. Замечательно, что функция
Z(+> = г2 (3MXInr — L)I(nr + ЗМ), (58)
подобно функции Z(~), удовлетворяет (вследствие уравнений (52)—(54)) одномерному волновому уравнению. Возможность сведения системы трех уравнений первого порядка (52)—(54) к одному уравнению второго порядка была обнаружена эмпирически, однако причина этого должна лежать глубже, в структуре системы уравнений. Мы выясним это ниже, в § 25. Но прежде удостоверимся, что Z<+> действительно удовлетворяет одномерному волновому уравнению.
Переписывая Z(+> в виде
Z<+> = rV — г2 (L + X)I(nr + ЗМ), (59)
дифференцируя по г* и подставляя производную (L + X) )Г «з уравнения (56), находим
Z|+> =(1 — 2Af/r)Z.r =
_(r-2M)Kfr+ Г(ЯГ + ЗЛ1) V +-(/гг + ЗМ)2-(L -fX). (60)
Дифференцируя это выражение по г и снова используя уравнение (56), получаем
ZI+.V - (г - 2M) У, „ + У. f + 3^-JJg V. г +
• од/ —nr2-|-4Mw + 6М2 т/ , ЗМ/г г/п , ч лял п . v\ + ЗМ-Дг+ЗУИ)*-К+ (яг+ЗЛІ)» [(2+я)/—M](L + *)-
яг2-—ЗМлг — ЗМ2 г/0 ,-Л/гчг і / он\ vi - г (г - 2M) (nr + 3M)8 «2Г - Ш) L + (Г - 3M> *)• (61)
156
Г лава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Если подставить производную У,гг из уравнения (51), то получим выражение, которое помимо L1 X и N содержит только производную V1 которую можно найти из уравнения (57). Сделав эти подстановки и упростив получившееся выражение, придем (после некоторых сокращений) к уравнению
d2 2
Z<+> = у< V)z
