Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Ф — Фо = я/(1 — 6(i)1/2 (163)
после одного или более оборотов в зависимости от близости (1 к значению V6. Окружность радиуса щх является огибающей семейства этих решений, так что круговая орбита, предсказываемая для этого радиуса, является особым решением уравнения движения (см. рис. 7а (д)).
Случай е = 0 и (і = V6 необходимо исследовать отдельно. В этом случае все три корня уравнения f (и) = 0 совпадают (случай (б) на рис. 4) и U1 = и2 = 1/6УИ. Как мы только что показали, круговая орбита радиуса 6 M является особым решением уравнений движения. Радиус 6М — это нижняя граница области
19. Времениподобные геодезические
119
существования устойчивых круговых орбит (см. уравнения (144') и (146)). Общее решение в этом случае может быть получено из уравнения
(-^)2 = 2УИ(ы-1/6М)з. (164)
Это решение имеет следующий вид:
и = 1/6M + 2/М (ф — ф0)2. (165)
Орбита приближается к окружности радиуса 6М асимпотически, закручиваясь по спирали вокруг нее бесконечное число раз (см. рис. 7а (е)).
(?) Случай 2\i (3 + ё) = 1. Мы не можем получить решение в этом случае, просто полагая \i = V2 (3 + ё) при выводе уравнения (156), поскольку коэффициент при tg2 1/2 в первоначальной подстановке (154) равен теперь нулю. Поэтому мы должны исследовать этот случай с самого начала.
Когда 2\i (3 + ё) = 1, корни уравнения f (и) = О равны
h1 = (1 — ё)/1, и2 = U3 --= 1/4М — (1 — ё)121 =
-(1 + ё)11. (166)
Если сделать подстановку
и = (III) (1 + е + 2е tg2 (?/2)), (167)
то
и = U2 = U3 = (\ + е)Н, когда 1=0,
w оо, когда I = я, (168)
и уравнение (109) принимает вид
• (-^L)2 = 4Mesin2(E/2). (169)
Это в точности то же уравнение, которое мы получили, исследуя орбиты первого рода при подобном же условии U2 = U3 (см. уравнение (149)). И, как и прежде, запишем
Ф =-(H-1/2ln(tg(?/4)]. (170)
Вдоль этой орбиты ф = 0 при I =л иг->0, и ф оо при I -> О при приближении к апоцентру на расстояние г = 11(1 + ё). Другими словами, орбита приближается к окружности радиуса 1/(1 + ё) асимптотически, закручиваясь по спирали (в направлении против часовой стрелки) бесконечное число раз. Такое же поведение и у орбит первого рода, но есть одно важное различие: окружность радиуса 1/(1 + е) является перицентром для орбит первого рода, но апоцентром для орбит второго рода. Если же мы хотим рассматривать орбиты первого и второго рода при и2 = и3 как продолжение друг друга, то должны предположить, что орбита первого рода сначала накручивается на окружность радиуса 1/(1 + е)} делая бесконечное число витков, а затем по-
120
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
падает внутрь и в конце концов заканчивается на сингулярности (см. рис. 7а (г)).
///. Орбиты с мнимым эксцентриситетом. Наконец, рассмотрим случай, когда уравнение / (и)^ = 0 имеет только один действительный корень (обязательно положительный для ограниченных орбит, рассматриваемых в настоящем параграфе) и пару комплексно сопряженных корней (случай (є) на рис. 4). Очевидно, что орбиты этого типа, начинаясь на некотором конечном расстоянии в апоцентре, заканчиваются на сингулярности, хотя и могут успеть совершить один или несколько оборотов. Мы будем характеризовать эти орбиты чисто мнимым эксцентриситетом іе (е > 0), а корни уравнения f (и) == 0 при этом обозначим следующим образом:
U1 = 1/2М — 2//, и2 = (1 + Ie)Il, U3 = (1 — Ie)IL (171)
Ясно, что при таких определениях можно получить необходимые уравнения, заменяя в уравнениях (121) и (123) е2 на —е2. Получаем
1/L2 = (\ГіМ) [1 — [і (3-е2)],
(1 — E2)IL2 = (I//2) (1 — 4(i) (1 + е2), (172)
E2IL2 = (MlM) [(2(1 — I)2 + 4(i2e2].
Последнее из этих уравнений показывает, что / следует брать положительным. Более того, поскольку мы рассматриваем ограниченные орбиты ((1 —E2) > 0), (і < V4, а это неравенство гарантирует выполнение неравенства
1 — 3(1 + [іе2 >0. (173)
Видно также, что никаких ограничений сверху на е2 мы наложить не можем.
В предположении (171) уравнение, которое мы должны исследовать, принимает вид
(T)! = M»-W+x)[(«-x)! + fl- (»4) Сделаем теперь подстановку
и = (1 + е tg 1/2)/1. (175)
Поскольку и изменяется в пределах
1/2/W — 211 < и < оо, (176)
соответствующая область изменения переменной | есть
I0 < I < я, (177)
tg(?o/2) = —<6|* — \)/2\ке, (178)
или, что эквивалентно,
sin (l0/2) = — (6ц — 1)/6, cos (go/2) = 2це/б, (179) б = [(6^ — I)2 + 4ц2е2]'/2. (180)
19. Времениподобные геодезические
121
Подставляя (175) в уравнение (174), получаем
dg/аф - ± YJ[(6(ы - 1) 4- 2|ieslng -Ь (6|х — I)COSg]1/2. (181)
Из теории эллиптических интегралов следует, что решение для Ф может быть записано через эллиптический интеграл Якоби. Имеем
±ф = б"1/2 J(I-A2 sin2 V)-1/2 dy, (182)
где
k2 = (1/26) (б + 6fi — 1), (183)
sin2 = (б + 6|я — I)"1 (б — 2\ie sin 6 — (6|л — 1) cos l\ = = (б + 6(i — І)"1 {б + 6[х — 1 — 2 [2\хе sin (?/2) +
+ (6[х - 1) cos (6/2) ] cos (6/2)}. (184) Из уравнений (179) и (184) следует, что
