Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 46

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 97 >> Следующая


Рис. 7а. Различные классы времениподобных геодезических для пробных частиц для которой орбиты первого и второго рода переходят друг в друга [2(л (3 + е — последняя неустойчивая круговая орбита, когда орбита второго рода по мнимыми эксцентриситетами. (На всех этих графиках M — 3/14 в том масштабе,

19. Времёниподобные геодезические

127

3 2 1 О

-1

-2

-3 ___

-3-2-10 1 2 3

3 2 1 О

-2

~-3" -2 Н> O Ї Г5 3

^=0,1/, I=I1 м=уі4

с E2 < I. а—в — геодезические первого и второго рода; г — пример траектории, б) = I ]; д — пример круговой орбиты и связанной с ней орбиты второго рода; спирали уходит от орбиты первого рода; ж, з — ограниченные орбиты с / — I и который принят на соответствующей оси координат.)

т-1-1-1-1-r

2 3 4

Рис. 76. Различные классы времениподобных геодезических для пробных частиц различными фокальными параметрами (M = 3/14 в масштабе, который принят и мнимыми эксцентриситетами (M = 0,3 в масштабе, принятом на соответствую

19. Времениподобные геодезические

ч
I I I I TT
I I

3

-

2

-

1
____
-





О -1

-

-2 -3
і і і I I
-

-4
I I

-4
-3 -2-10 1
2 3 4

-3-2-10123-3-2-10123 J <?=0,001/, ? = 1,^/=0,3 e=0,U, €=1, л/-0,3

с ?2> 1. а—б — орбиты первого и второго рода с эксцентриситетом е~ на соответствующей оси координат), гу д — неограниченные орбиты с щей оси координат).

5 Чандрасекар С.

13O Глава 3. Пространство-время Шварцшильда

Предельный случай, когда корни U2 и U3 совпадают, описывается, как и для ограниченных орбит, уравнением (150) (разумеется, снова с ограничением области изменения %). Так же как и ограниченные орбиты, неограниченные орбиты приближаются асимптотически к окружности радиуса гр, накручиваясь по спирали бесконечное число раз.

Исследование орбит второго рода ничем, кроме условия е ^ 1, не отличается от исследования соответствующих ограниченных орбит.

//. Орбиты с мнимым эксцентриситетом. Выше мы показали, что ограниченные орбиты, заканчивающиеся на сингулярности, лучше всего характеризуются мнимым эксцентриситетом. Аналогично неограниченные орбиты, заканчивающиеся на сингулярности, также удобно описывать мнимыми эксцентриситетами, и предыдущий анализ переносится на случай неограниченных орбит лишь с незначительными изменениями, учитывающими тот факт, что теперь орбиты начинаются на бесконечности, а не на конечном расстоянии в апоцентре.

Соотношения (172) для неограниченных орбит принимают вид

1/L2 = (VlM) [1 — [х (3-е2)],

(E2 — 1)/L2 = (I//2) (4[х — 1) (1 + е2). (204)

Соответственно мы должны потребовать, чтобы

[X ^ V4, 1 — 3[х + lie2 > 0. (205)

Если V3 ^ [X ^ V4, то второе неравенство не накладывает никаких ограничений на величину е2> но когда [х > V3, то

е2 >3 - 1/[х ([X > V3). (206)

Решение для этих орбит, как и выше, получается в результате подстановки (175). Однако вследствие требования [х ^ V4 область изменения ? должна обрываться на значении I00 (не доходя до значения ?0, определяемого уравнением (179)). Значение I00 определяется из уравнения

sin V2IoO = -(1+ *2)-1/2, cos V2600 = (1+ *2)-1/2е, К }

поскольку и=0 при I = I00, и и становится отрицательным, когда I < I00. Таким образом, если ? ->• I00 + 0, то и ->• 0 и Г-+00. Но верхний предел для ?, равный л, остается неизменным, поэтому

loo <1 <п. (208)

Несмотря на эти изменения, решение для ф снова может быть записано в следующем виде (ср. с уравнениями (183), (184) и (188):

Ф = O-1/2 {/с (а) — F (?, k)\. (209)

20. Изотропные геодезические

131

Отсчет ф (как и в прежнем решении для подобного случая) начинается на сингулярности (где ?• = я и г|) == я/2), но нижний предел для \|) (обозначим его Ip00), когда орбита начинается на бесконечности, находится из уравнения (184), если в качестве аргументов функций sin §/2 и cos ?/2 подставить значение которое в свою очередь находится из уравнения (207). Имеем

sin2 ^00 = (б + 6(х - I)"1 [б + 6(х - 1 - 2е2 (4(х - 1)/(е2 + 1)]. (210)

(Заметим, что при (х > V4 правая часть уравнения (210) меньше единицы, причем она равна единице, если (х = V4, и тогда Ij)00 = = —я/2, как и в случае ограниченных орбит.)

Ряд примеров для различных классов неограниченных орбит показан на рис. 76.

На этом мы закончим исследование времениподобных геодезических в пространстве-времени Шварцшильда.

20. Геодезические в пространстве-времени Шварцшильда: изотропные геодезические

Мы уже отмечали в § 19, что для изотропных геодезических лагранжиан должен быть равен нулю. Поэтому для изотропных геодезических вместо уравнения (89) напишем следующее уравнение:

?2 f2 ?2

1 - 2М/г 1 — 2М/г 7Г = ®> (211)

которое удобно переписать в виде

(-*-)'+?(«-?•)-*¦• <2|2>

Это уравнение следует рассматривать совместно с уравнениями для координатного времени t и азимутального угла ф:
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed