Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
а. Аксиальные возмущения. Как мы установили, аксиальные возмущения —это возмущения, для которых со, qu и q$ не равны нулю. Они удовлетворяют уравнениям
Rn = #із =* о. (Ю)
В уравнение (10) можно подставить невозмущенные значения (6) для V, (ы2, \i3 и я|? (это следует, например, из выражения (4д) для R12)- В результате получим следующие уравнения:
(e4+v-^Q,s), з = -e^-v+^0o2, о (6R12 = 0), (11)
(e3^-^Q2Z)t 2 = ^-v+U2-'a3Qo3, о (вЯіа = 0). (12)
Полагая
Q(I4, г, 9) = AQ23SIn3G = A(^3 - <fc,2)sin3e (13)
и подставляя выражения (6), получаем
-тоїїж =-(*•«-(14)
T^Fq W = + (ю.3-<7з,о),о. (15)
В дальнейшем мы будем предполагать, что зависимость рассматриваемых возмущений от времени имеет вид
еш% (16)
где а — постоянная (как правило, действительная). Другими словами, мы совершаем фурье-преобразование возмущения и рассматриваем одну фурье-компоненту, имеющую частоту — а. Оставляя прежние обозначения, но рассматривая амплитуду возмущения с заданной частотой, мы можем переписать уравнения (14) и (15) в виде
1 dQ _ ^
г4 sin3 Є de
= — IG(O9 2 — ач7>2,
A dQ , . , a (17)
r4sin3e dr 1 43
Исключая из этих уравнений со, цолучаем
"y(4#)+«"iU*)+'(«t«-* <I8>
Переменные г и Э в уравнении (18) можно разделить подстановкой
Q (г, 9) = Q (г) C^2 (9), (19)
где С7+22 — функция Гегенбауэра, удовлетворяющая уравнению
— sin2v9 ¦^- я (я + 2v)sin2v (9)] (9) = 0. (20)
24. Возмущения метрики
151
Функция Гегенбауэра С]%2 (9) связана с функцией Лежандра P1 (Q) соотношением
C1+2 (O)-Slll o^-^-gg-, (21)
которое можно переписать в виде
СГ+Т(Є) = (Я/, ее - Л, е ctg Є) sin2 9. (22)
Подставляя выражение (19) в уравнение (18), получаем радиальное уравнение
ц» = 2п = (/ — 1) (/ + 2). (24)
Величина ц2 задает угловую зависимость. Переходя к переменной (см. уравнение (219) гл. 3)
г* = г + 2MIn(г/2М _ l) (JL = ) (25)
и производя замену функции
Q(r) = rZ{-\ (26)
находим, что Z(_) удовлетворяет одномерному волновому уравнению Шредингера:
JL + а2 \ Z(~} - y(->Z(-} (27)
d4 j
с потенциалом равным
= (Д/г5) [(fA2 + 2) г — 6Л1 ]. (28)
Уравнение (27), которому удовлетворяют аксиальные возмущения, было впервые выведено (хотя и совершенно другим способом) Редже и Уилером и поэтому часто называется уравнением Редже— Уилера.
Удобно для дальнейшей работы ввести операторы
А2 - Л+Л. =- Л.Л+ = JL + оа. (29)
В новых обозначениях уравнение для Z<_> выглядит следующим образом:
A2Z(_) = Vi~)Zi~\ (ЗО)
* При обычной нормировке функций Гегенбауэра и Лежандра в правой части этого уравнения цоявится еще множитель 3 [(/ — 1) (/+ 1) (/+ 2) J-1,
152
Глава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
Потенциальный барьер V значениях I w п
Таблица 1
для аксиальных возмущений при различных
г/М
I= 2 п = 2
/= 4 п= 9
г' M
I = 2 п = 2
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,2 3,4 3,6
0
0,03394 0,06147 0,08362 0,10127 0,11520 0,12605 0,13435 0,14057 0,14506 0,14815 0,15106 0,15086 0,14861
0
0,09872 0,17417 0,23156 0,27488 0,30720 0,33087 0,34773 0,35923 0,36647 0,37037 0,37079 0,36458 0,35437
О
0,18511 0,32443 0,42881 0,50637 0,56320 0,60397 0,63224 0,65077 0,66169 0,66667 0,66376 0,64954 0,62871
3,8 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0
0,14503 0,14063 0,12803 0,11520 0,09259 0,07497 0,06152 0,05121 0,04320 0,03183 0,02436 0,01923 0,01555 0,01283
0,34185 0,32813 0,29264 0,25920 0,20370 0,16243 0,13184 0,10882 0,09120 0,06655 0,05060 0,03973 0,03201 0,02633
0,60428 0,57813 0,51212 0,45120 0,35185 0,27905 0,22559 0,18564 0,15520 0,11285 0,08559 0,06708 0,05396 0,04433
В табл. 1 затабулирован потенциал для / ветствующие кривые показаны на рис. 11.
Зг
2, 3, 4, а соот-
г/М
Рис 11. Потенциальные барьеры, окружающие шварцшильдовские черные дыры, для аксиальных возмущений. Около кривых указаны соответствующие значения /.
б. Полярные возмущения. Полярные возмущения Связаны с ненулевыми приращениями в метрических функциях V, |л2, ц3 и г|). Заметим, что в выражения (4е), 4 (ж), (46) и (4к) для R029 Rn, R1%
24. Возмущения метрики
153
и G22 величины QAB входят квадратично; следовательно, эти уравнения в линейной теории возмущений можно не учитывать. Таким образом, как и ожидалось, уравнения для аксиальных и полярных возмущений действительно расцепляются.
Линеаризуя выражения для R02, R03, R23, R11 и G82 около шварцшильдовских значений, получаем следующие уравнения:
(Ц + 6цз),г + (Mr - V,г) (6ф + бц3) - (2Ir) 8ца = О (6R02 = 0), (31) OF2),9 + (84>-%.)ctge = 0 (8Яоз = 0), (32)
(6Mp + Ov), ,є f (ЬМр - в|*з). г ctg в 4-
+ (v., - 6v. в - (V. г + 6ц2, 9 - 0 (б/?23 = 0), (33) е-2»' Ц2/г) 6v, , + (1/г + V, г) (6ф + вцз), г - 28ц2 [(2/r) v, Р + 1/,*]} + + 1/г2 \(Ц + 6v), 6Й + (264; + ov - 6ц3), 9 ctg Є + 26ц3] -
-<T2V (6^ + 6^),00 = О (6G22 = O), (34) e+2v |вф, rr + 2 (1/г + v. г) в*, r + (1/г) (бф + 8v - 6Fa + вм,), r -