Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Pi[ZOSQ)= S Р? (cosB)eim(pPT (cos е')е~Ш(р\ (2)
m=—l
где PT (cos 0) — присоединенные функции Лежандра. Мы видим, что аксиально-симметричная мода с определенным значением I разлагается в ряд по полной системе из (21 + 1) функций с угловой зависимостью PT (cos 0) ётч>. Это разложение, разумеется, не затрагивает функции, описывающие радиальную зависимость. По этой же причине радиальные волновые функции электрона в центральном поле не зависят от магнитного квантового числа т и их зависимость от орбитального углового момента определяется только числом L
В соответствии с предыдущими замечаниями будем рассматривать только зависящие от времени аксиально-симметричные моды возмущений. Поэтому достаточно считать решение Шварцшильда специальным сферически симметричным и статическим случаем более общего решения уравнений поля, линейный элемент которого равен (см. уравнение (38) гл. 2)
ds2 = e2v (dtf - е2* (d<p - со dt - q2 dx2- q3 dx3)2 -
-^2(dx2)2-^(dx3)2, (3)
и получить соответствующие уравнения для возмущений линеаризацией уравнений поля в окрестности решения Шварцшильда. Для этого (а также и для других целей) удобно иметь явные выражения для различных компонент тензора Риччи и тензора Эйнштейна в метрике (3), где v, г|), р,2, р,3, со, q2 и q3 — функции только /, X2 и Xs. Эти компоненты можно получить, свертывая
Ґлава 4. Возмущения метрики Шварцшильда
тензор Римана, компоненты которого (в случае, когда метрические функции зависят также и от угла <р) были выписаны в гл. 2 (уравнения (75)). Результаты этих сверток даны ниже:
— R00 «= e_2v [(1J) + H2 + Ji3X00 + ф,0 (ф - V),о +
+ ^2, 0 (Hu - V), о + Из, О (ЦЗ — V), 0] —
- Є'2** [V.22 + v,2(v|) + V - Ца + ИзЫ -
— Є_2Ц° [V, 33 + V, з (Ф + V + Щ ~ Ii3), 3] +
+ Vм" legato + e-^Qlo), (4a)
— #11 = Є'2»' [ф, 22 + Ф, 2 (Ф + V + Из ~ 14). 2І +
+ e-!l|i*№,88 + l|\s0l>+V+|l,— |*»Ы -
- e~2V [ф,00 + Ф,о(Ф — V + fi2 + Из),о] —
_ V2e2,"-2tl2-2,l3Q223 + Vм* [e-^Qlo + ^•?!0], (46)
— R22 = Є"2»12 [(ф + V + (X3), 22 + Ф, 2 (Ф - 14). 2 +
+ Hs, 2 (И-з — Иг), 2 + v, 2 (v - Иг), 2] + '+ e~2?' [|ia, 33 ¦f (X2, 3 (Ф + И + 1? — Из), з] —
- e_2V [Иг, 00 + 14,0 (Ф — V + [I2 -f Hs), 0] +
+ V2^-2,i2[e-2^Ql3-e-2vQy, (4b)
+ (^-^•O»),»]. (4r)
- /?и = V*-8*^-'*' [(^+^^'ОзгЬ - (^^+^-^?02), о], (4Д)
— /?02 = ?-'ls-v [(^ +' (г3), 20 + Ф, г (Ф - Иг), о +
+ Ii8,2 (Из - Иг), о - (Ф + Из), о V, J - 1/2e2l"",''"2tl3"^Q23Q3o. (4е)
- #23 = Є-»*-»' [(ф + V), 23 - (Ф + V), 2 Н2, 3 -
- (Ф + V), зИг^з + Ф, .Ф. з + V, 2v, 3] - V^-^-^-^QwQn, (4ж)
— G00 = — е-2"2 [(ф + цз), 22 + Ф, 2 (Ф — Иг + Нз), 2 +
+ Из, 2 (Нз - Иг), г] - Є~2|із [(ф + Иг), аз + Ф, з (Ф - Из + Иг), з + + Иг,з (Иг — Из).з + + e~2v [ф, о (Иг + Нз), о + Нз, о + Иг, о) -- Vм" lectio + е~^(Ы - Ч/*-2»>-2»><&, (4з) Gn = e~2v" [(v + Из), 22 + v. г (v — Иг + Нз). 2 + Нз. 2 (Из — Иг). 2] +
24. Возмущения метрики
149
+ * 2Мз [(V -Ь Иг), зз + V, з (v — Из + Ih). з + И2, з (И2 - Из), з] — — e~~2v [(Ii2 -f Из), OO + И2, о (и* — v), о + Из, о (Из — v), о + И2. оИз, о] + + V/* [*-2^Ч& - e-2^~2vQl0 - .-2^3-2?], (4и) G22 = <Г2^ [(ф + V), зз + (Ф + V), з (V - Из), з + Ф, зФ, з] +
+ [V, 2 (Ф + ИЗ), 2 + ф, 2ИЗ, 2] -
— e~2v [(ф f ц3), оо H- (Ф + Из), о (Из - V), о + ф. оф, о] -
- V/* [^2-2? - е-2»'-»<&> + .-2^-2?], (4к)
где
Qab = Яа,в — qB,а*1 Qao = ?до-Чл (A9 В = 2, 3). (5) Компоненты R339 R139 R03 и G33 здесь не выписаны — они могут быть получены простойґзаменой индекса 2 индексом 3 и обратно в компонентах R22, Ri2> R02 и G22.
24.' Возмущения метрики
Коэффициенты линейного элемента метрики Шварцшильда, записанной в виде (3), равны
е" = е~2^ = 1 - 2MIr = Mr9 е»' = г, e*=r sin 0; (6)
о = ?2 = q3 = 0 (Д = г2 — 2Л4г, X2 = г, = в). (7)
Следовательно, возмущение общего вида для шварцшильдовской черной дыры сводился к тому, что
о. <72, <7з (8)
становятся величинами первого порядка малости, а функции v, Иг> Из и ф получают малые приращения
ov, б[х2, 6ц8, бф. (9)
Ясно, ^что^возмущения, приводящие к ненулевым значениям величин со, q2 и <7з, и возмущения, приводящие к приращениям функций V, [X2, [X3 и ф, имеют совершенно различную природу: первые описывают увлечение инерциальных систем отсчета, т. е. вращение черной дыры, тогда как вторые не связаны с вращением. По этой причине назовем эти возмущения соответственно аксиальными и полярными. Эта терминология становится понятной, когда рассматривается изменение метрики при замене ср на —ф. Рассмотрим, как влияет на метрику изменение знака переменной ф. Обращение знака никак не сказывается на полярных возмущениях и ^приводит к изменению знака аксиальных возмущений со, q2 и <7з, как это следует из требования инвариантности линейного элемента, что и оправдывает нашу терминологию. Следует ожидать, что возмущения, имеющие столь различное
ISO
Ґлава 4. ВозмуЩения метрики Шварцшильда
поведение, можно рассматривать независимо друг от друга. Мы увидим, что так оно и есть на самом деле.
