Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
sin2 \|э = 1 ив апоцентре, когда 6 = 1о>
и в сингулярности, когда 6 = гс. (185)
Кроме того,
sin2 ф = 0, когда 6 = arctg 2|xe/(6|x — 1). (186)
Таким образом, в области изменения 6 (см. (177)) переменная г|) проходит через нуль. Следовательно, при изменении 6 от 6о до я
—я/2 < ф < +я/2. (187)
Соответственно этому можно записать
Ф = 6-'/s {/((ft)-F(l>f k)]i (188)
где К (k) — полный эллиптический интеграл, a F (if, k) обозначает (как обычно) неполный интеграл Якоби. При записи решения для ф в виде (188) мы предположили, что ф = О в сингулярности, где 6 = гс и г|) = я/2. Значение ф в апоцентре, где 6 = 6о и \|э = —я/2, равно
і Фар = 2K(k)№*. (189)
Примеры орбит, вычисленные на основе уравнения (188), показаны на рис. 7а (ж) и (з).
На этом мы закончим обсуждение ограниченных орбит и перейдем к исследованию неограниченных орбит с E2 ^ 1.
е. Неограниченные орбиты (E2 > 1). В случае E2 > 1 свободный член в кубической функции / (и) положителен. Следовательно, уравнение f (и) = О должно допускать отрицательный корень. На рис. 6 показаны различные случаи, отвечающие различному расположению корней (число случаев меньше, чем для ограниченных орбит). [Снова можно показать, что все три корня
122
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда
не могут быть действительными и отрицательными (см. сноску на стр. 111)1.
Во всех случаях, когда существуют три действительных корня, два из которых положительны (различны или одинаковы), мы продолжаем различать орбиты двух родов: для орбит первого рода интервал изменения и есть 0 < и <: U2 (эти орбиты аналогичны гиперболическим орбитам ньютоновской теории), а орбитам второго рода соответствуют и ^ U3 (по существу, эти орбиты не отличаются от ограниченных орбит второго рода). Когда U2 = и3,
№
Рис. 6. Расположение корней кубического уравнения / (и) = О, когда Е2> 1.
орбиты первого и второго рода асимптотически приближаются к окружности радиуса щх {= щ>х) с противоположных сторон, закручиваясь по спирали бесконечное число раз. И наконец, когда уравнение / (и) = О допускает пару комплексно сопряженных корней (не считая отрицательного действительного корня), орбиты можно характеризовать мнимым эксцентриситетом, причем отличие от случая, рассмотренного в предыдущем разделе, состоит только в том, что теперь орбиты неограниченны!
/. Орбиты первого и второго рода. Пусть все три корня действительны. Мы запишем их через эксцентриситет е, как и в случае ограниченных орбит, только теперь е 1:
U1 = ~{е — 1)//, и2 = (е + I)Zl1
и3 = 1/2М — 2/1 (е ^ 1). (190)
Неравенство (118)
1 — 6(х — 2ц*3*0 (191)
остается справедливым, поскольку оно является следствием упорядочения корней: U1 < U2 <: и3. Соотношения (121) также остаются справедливыми с той же оговоркой: теперь е^ 1. Следовательно,
1/L2 = (IHM) [1 — (X (3 + е2)], (E2 — 1)/L2 = (\ll2) (1 — 4(х) (е2 - 1). (192)
Поскольку L2 > 0 и (по предположению) E2 — 1^0, то
1 - її (3 + е2) > 0, (X < V4.
(193) (194)
19. Времениподобные геодезические
123
Неравенство [х <: V4 является следствием как неравенства (191), так и неравенства (193). Интересно, что неравенство (191) является следствием неравенства (193), когда е < 3; и обратно, неравенство (193) следует из (191), когда е ^ 3. В этой связи отметим, что в случае 2[х (3 + ё) =1 (т. е. когда корни U2 и U3 совпадают) соотношения (192) принимают вид (ср. с уравнением (148)):
{LIMf = 4 (3 + е2)1(3 - ё) (е + 1),
?8 — 1 = (е2 — 1)/(9 — в2). (195)
Соответственно в этом специальном случае
1 <: е < 3, (196)
и расстояния в перицентре могут лежать только в интервале (ср. с интервалом (147) для ограниченных орбит)
ЗМ <гр < 4M. (197)
Отметим также, что, поскольку орбиты первого рода (а также орбиты с мнимым эксцентриситетом) «приходят из бесконечности», можно характеризовать их прицельным параметром D и скоростью на бесконечности V, которые следующим образом связаны с L и Е:
D2 = L2IV2 = L2E2I(E2 — 1) [?2 = (1 — V2)'1]. (198)
Решение уравнений движения для орбит первого и второго рода начнем с уже знакомой подстановки:
и = (1 + е COSX)//. (199)
Однако теперь и
и=0, когда % = arccos (—e'1) = X00. (200)
Как и прежде, перицентру соответствует х=0, причем х изменяется в пределах
0 <: X < Хоо = arccos (—е~1). (201)
Дальнейший процесс решения протекает без изменений по сравнению с соответствующим случаем ограниченных орбит. Решение для X снова может быть записано через эллиптический интеграл (130) с тем же модулем k. Помня об ограниченности области изменения х, можно теперь записать решение для ф в виде (ср. с уравнением (132))
ф = 2 (1 - 6[х + 2ре)-*/2 [К {k) _ р {1/2Л _ i/2%i k)l (202)
Здесь мы выбрали ф = 0 в перицентре, когда % = 0. Траектория начинается на бесконечности вдоль направления
<р - <pw - 2 (1 - 6ц + 2ре)~ч* [К {k) - F (^00, k)]
(Ij)00 = V2 arccos е"1). (203)
19. Времениподобные геодезические
125
126
Глава 3. Пространство-время Шварцшильда